概率统计1.2 2课件

1、,1.2 概率的统计定义及古典概型,一、概率的定义 1.概率的直观定义 2.概率的统计定义 二、古典概型及古典概型中事件的概率的求法 1.古典概型的定义 2.古典概型中事件的概率的求法公式,一、概率与频率 在投掷一枚硬币的试验中，虽然我们不能肯定事件A=“掷出正面”的发生，但由于硬币质地均匀，几何上对称.我们可以断定在一次试验在事件A发生的可能性大小为1/2. 把1/2称为事件A发生的概率，记为P（A） =1/2. 1.事件概率的直观定义 把事件A发生的可能性大小的具体数值称为事件A发生的概率，记为P（A）. 在T2中：A=“掷出5点”， P（A）=1/6. B=“掷出奇数点”， P（B）=1

2、/2.,一个根本的问题：对于一个事件发生的可能性大小的具体数值概率究竟是多少呢？ 在投掷硬币的试验中，由于硬币质地均匀，几何上对称.我们可以断定在一次试验在事件A发生的可能性大小为1/2，若不知道这些,我们还可以断定P（A）=1/2吗？ 在引言我们提到，若反复不断地掷硬币，随着 试验次数n的不断增加，比值/n（为A发生的 次数）会逐步稳定在0.5=P（A）附近. 由此，可以得到事件概率的另一种形式定义 2.事件概率的统计定义 在相同条件下，对试验T重复独立进行n次，若n次试验中A发生的次数为，/n= 称为A发生的频率。,若随着n的不断增加，比值 逐步稳定在一常数p附近，则称p为事件A发生的概率

3、，记为P（A）= p. 说明: (1) 是事件A本身的属性，它是客观存在的，它与事件A的发生与否无关. (2) 是用 “测量”的，而 可以取得不同的数值，具有偶然性. 一个最基本的问题：如何寻找事件A发生的概率P（A）？ 这里我们先讨论一类简单的随机试验古典概型中事件概率的求法.,二.古典概型 1.定义：若某一随机试验T满足： （1）样本空间含有有限个元素.即 = （2）每一个样本点出现的可能性大小一样. 则称这类随机试验为古典概型. 例1：T2中掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数. 设 “掷出i点” ，i=1,2,，6,即,例2：袋子中有10个球，球号分别为1-10号.从中任取一球观察球

4、的号码. 设 则 例子不胜枚举，判别一个试验是否是古典 概型，关键是“等可能性”.对于“等可能性”常常 是利用实际问题的某种“对称性”来进行判别.再如掷两枚硬币，两颗骰子的试验.,2.古典概型中事件概率的求法. 设T-是古典概型，中有n个样本点，A含有m个样本点，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n 例3：投掷一颗骰子，求“掷出奇点数”,“掷出偶点数不超过”的pr. A=1，3，5, P(A)=3/6=1/2 B=1,2, P(B)=2/6=1/3. 例4：同时抛掷两枚硬币，求A=“恰有一枚正面向上”的pr. 解：等可能的样本点有4个，即1=“正，正”， 2=“正，反”，3=“反，正”，4=

5、“反，反” 而A=2，3, P(A)=2/4=1/2,注:本题中把 =全正,一正一反,全反.这三个样本点的出现不是等可能的.由实际经验可以判别,出现“一正一反”的可能性要大些. 例5:同时掷两颗均匀的骰子,求A=“点数之和为9”的pr. 本例同例4.要注意把什么作为等可能的基本事件. 一种错误的解法是:投掷两颗骰子,点数之和不外乎是2,3,12,而点数之和为9是其中之一,故所求pr.为1/11.,错在哪里?这里把点数之和作为样本点并无不可.问题是这11个样本点的出现不是等可能的,因而不能用古典的pr.公式计算. 解:设（ij）=一号骰子掷出i点,二号骰子掷出j点.i,j=1,2，6 则 =11

6、,12,16,21,22,26,， 61,62,66 A=36,45,54,63， P(A)=4/36=1/9 注1:由于骰子的对称性以及搭配方式的均匀性.这36个样本点是“等可能”的. 类似:可求其他事件pr:P(i+j=7)=6/36=1/6(概率最大的事件),P(i+j=12)=1/36,注2:以上3例都是通过罗列A所包含样本点的方法,求事件A的pr.,这种方法直观清楚,但太繁琐.在实际中,若n很大,就行不通.在古典概型中,求pr.关键是求m,n.很多场合,需要用到排列,组合知识来进行计数,算出m、n. 例6:设有100件产品.其中有5件次品,现从中无放回地抽取3件.求 (1) A =“

7、这三件产品全为正品” (2) B= “三件中至少有一件为次品” (3) C =“三件中恰有一件次品” 的pr. 分析:样本点:把从100件产品中任取3件的一种取法作为一个样本点,则n= 有限,而且,我们没有理由认为其中一种取法的可能性,比另一种取法的可能性大,因而他们是等可能的. (1)P(A)= (2)P(B)= (3)P(C)= 例7：(分房问题)有n个人,每个人等可能地分到N个房间中的任一间去住.每个房间容纳的人数不限(nN) 求(1)A=“指定的n个房间，各有1个人住” (2)B=“恰有n个房间，其中各有1人住” (3)C=“某一指定的房间中，恰有m（mn）人住”的Pr.,分析：把n个人同时分到N个房间的一种分法作为一个样本点，由于每一个人都是N个房间可供选择。故样本点总数为 ，且它们是等可能的。 解:（1） （2） （3）,说明(1)该例称为“分房问题”。它可以归纳为一个数学模型。 （a）若把例子中“房间”改为“盒子”；“人”换成“球”。则“分房问题”就变成了“分球问题”。 （b）若把“房间”改为“生日”，则（N=365）n个人的生日互不相同的pr