概率论与数理统计 1

1、概率论与数理统计,胡玉琴数据科学学院,课程要求和考核,勿迟到旷课，上课认真听讲，必要的笔记； 按时完成作业，作业保持整洁，及时订正； 同步练习 每周周二上交，勿忘！ 手机关机或静音 平时点名，作业；阶段性考试；期末考试等 期末考试成绩50分以上参加总评,联系方式：664723 邮件： 课件：课代表负责制 答疑安排：6509,教材与参考书,教材： 概率论与数理统计 周君兴等主编 参考书： 概率论与数理统计茆诗松 中国统计出版社 经济数学基础第三分册概率统计，龚德恩主编，四川人民出版社,其他,概率论与数理统计_浙江大学_中国大学MOOC(慕课) http:/www.ico

2、/course/zju-232005?tid=377005#/info （9月14日开课） 重庆大学概率论与数理统计9月15日开课 超星慕课 概率论与数理统计。 浙江财经大学概率论与数理统计（胡玉琴）新版网络课堂 建设中,学习方法,引用浙江大学林正炎教授的绪论,课程内容,第一部分：概率论（第1-4章）,建立概率论(probability)的各个基本概 念和术语，常用的公式和基本的定理。,第二部分：数理统计（第5-7章）,在概率论基础上研究怎样从大量的随机的 看似杂乱无章的数字中获得统计结果的技术。,数学概念的回顾,集合概念 “可列个”的概念 函数 定积分 分段函数与积分,

3、1. 集合,现代数学的基础是集合论。,集合记号通常用大写字母A, B, C等来表示，,表示集合的办法有几种，例如,A=1,2,3,4,5为列举法；,B=x|0x1为描述法。,2. “可列个”的概念,“可列” （countable）：可数的,全体自然数的集合N=0,1,2,3,是无限集, 而自然数N的多少就被定义成可列个。,与自然数N存在着1-1对应的关系的无限集合 也被称为有可列个元素. 也就是说, 如果集合A是有无限多个元素, 而且每个元素可以用自然数作为下标来表示, 那么集合A就有可列个元素, 即 A=a1, a2, a3, a4, ,实数集不可列,3. 定积分,记作:,计算连续函数积分的

4、“牛顿-莱布尼兹公式”：,定积分就是计算一段曲线下包围的面积，如,4. 分段函数与积分,概率论中经常使用分段函数,它在定义域内 不同子区间上往往需用不同的初等函数来表示 对应规则。,对分段函数求积分，要用“区间可加性”对 积分进行拆分后，再进行积分计算。,例如：,分段函数积分示例(接上例),第1章 随机事件与概率,1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与贝叶斯公式,16,1.1 随机事件,1.1.1 随机现象 1.1.2 随机试验与样本空间,自然界中的有两类现象 1、确定性现象 （1）每天早晨太阳从东方升起; （2）水在标准大气压下加温到1

5、00oC沸腾。,2. 随机现象 （1）掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ （2）一天内进入某超市的顾客数; （3）某种型号电视机的寿命.,17,1.1.1 随机现象,确定性现象的特点:在一定的条件下,能够事先准确地判断它们的结果(必定发生必定不发生） 随机现象的特点：在一定的条件下，可能出现这样或那样的结果，并不总是出现相同结果。 1.结果不止一个; 2.事先不知道哪一个会出现.,1.1.1 随机现象,随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性.,1.1.2 随机试验与样本空间,1、随机试验 为了研究随机现象, 就要对客观事物进行观察.观察的过程，也

6、就是对随机现象进行试验，我们称为随机试验，简称试验，用大写字母E表示。 它具有以下三个特点：,(1)重复性:在相同的条件下,试验可以重复进行 (2)明确性:每次试验前可以明确一切可能出现的基本结果(尽管随机试验具有随机性). (3)随机性:事先不能准确地判断该次试验中会出现哪 种结果;,以下试验都是随机试验的例子：,1 掷一枚骰子,观察出现的点数. 2 连续抛一枚硬币三次,观察出现正面和反面的情况. 3 记录某电话总机一小时内接到的呼叫次数. 4观察并记录某地每天中午12点的气温.,20,21,2、随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。一般用大写字母A，B，C来表示。必要时加上下标.

7、,1.1.2 随机试验与样本空间,掷骰子观察点数是一个随机试验，它的一切可能结果都是随机事件，如出现1点，出现偶数点，点数不大于4，记A=“出现1点”，B=“出现偶数点”，C=“点数不大于4”均为随机事件。,随机事件的表示,1、基本事件：试验中所有可能出现的基本结果，即试验中最简单的随机事件，不能再分解的事件，我们称之为基本事件。,如掷骰子观察点数试验中记An=“出现n点”,n=1、2、3、4、5、6 则A1、 A2、 A3、 A4、 A5、 A6为基本事件,2、复合事件:由基本事件组成的事件。,随机事件的分类,A=“出现奇数点”为一个随机事件，它是由A1，A3，A5三个基本事件组成。实际上,

8、事件A出现等价于A1、 A3、 A5三个基本事件中有一个出现。 我们称之为复合事件,定义 ：一次试验中发生的基本结果属于事件A，称事件A发生。,随机事件的发生,基本事件发生的特点： （1）在每次试验中必有一个基本结果出现，即必发生一个基本事件 （2）在一次试验中，仅有一个基本结果出现(不可能同时发生2个基本结果)，即基本事件不能同时发生,24,必然事件：每次试验必定发生的事件。记为,特殊的随机事件,必然事件、不可能事件本质上不是随机事件，为方便讨论，作为随机事件的极端情况处理。,不可能事件：每次试验必定不发生的事件。记为,如掷骰子观察点数试验中，“点数不大于6” 为必然事件。,如掷骰子观察点数

9、试验中，“点数出现7” 为不可能事件。,3、样本空间,1.1.2 随机试验与样本空间,（1）样本点：我们把随机试验E的每一个基本结果，即每一个基本事件称为样本点，记作，,（2）样本空间：全体样本点（所有可能结果）组成的集合，我们称为随机试验E的样本空间。用来表示。,用集合的概念来研究试验及其事件将有助于对随机试验及其事件的理解,基本事件就是仅含有一个样本点的集合。,对具体问题，弄清样本空间是由哪些样本点（基本事件）所组成，这是十分重要的,26,(1) 掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则样本空间 (2) 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果：1点, 2点

10、, 3点, 4点, 5点和6点； 因此样本空间 (3) 掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能: 因此样本空间 (4)在观测某十字路口每小时通过的机动的车辆数试验里,样本空间 (5)测试某灯泡的寿命试验里,样本空间,样本空间例子, =正面, 反面。, =1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点。, =(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正).,=0,1,2,3, 。,=t: t0,27,掷两次硬币作为一次试验，将两次试验结果排序 考察事件A= “至少出现一次正面”， 那么A= (反, 正), (正, 反), (正, 正)，A为复合事件， （1）任

11、一 随机事件都是样本空间的子集 样本空间是全体样本点的集合,即所有基本事件组合而成的事件, 而每次试验必然会出现全部基本事件之一， （2）样本空间 作为一个事件就是必然事件 空集它不含样本空间的任何样本点,每次试验都不会发生 （3）空集 作为一个事件就是不可能事件。,样本空间的特点,样本空间与样本点,样本点：随机试验的每一基本结果称为样本点，通常记作。,样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间，通常记作。讨论问题前必须事先确定样本空间。,基本事件：将事件表示成基本事件的运算形式。,1.1.2 随机试验与样本空间,4、事件的关系和运算,事件的关系 事件的表示 事件的包含和相等 事件的和 事件的

12、积 事件的差 互不相容事件 对立事件,事件的图示,为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示一具体的事件.,事件A包含事件B：如果事件B 发生必然导致A事件发生, 即属于B的每一个样本点都属于A, 则称事件A包含事件B或称事件B含于事件A, 记作 A B或 B A 。,31,A,B,等价的说法：对任何 B 如果A不发生，则B也不会发生。,事件的包含和相等,事件的包含,33,例：考虑某圆柱形产品是否合格。已知它的 合格与否和直径及高度来决定，设A=“直径不合格”，B=“产品不合格”， 那么A发生，即直径不合格

13、，则产品不合格，也就意味着B发生。所以，,思考：考虑某单位电话收到的呼叫次数， A=“每分钟呼叫5次” B=“每分钟呼叫不超过10次”， 事件A和B的关系如何？,事件的包含例子,事件的并(和),两个事件A,B 中至少有一个发生, 即“A或B”, 是一个事件, 称为事件A与B的并(和). 它是属于A或B的所有样本点构成的集合. 记作 A+B 或 AB,A,B,易知 A + = A + = A,35,上例中，考虑某圆柱形产品是否合格。已知它的合格与否和直径及高度有关，记A=“直径不合格”，B=“高度不合格”，C=“产品不合格”,因为产品不合格就意味着直径不合格或高度不合格，二者至少有一个发生（包括

14、二者同时发生）那么,n 个事件的和： “n个事件A1,A2,An中至少有一个发生”作为一个事件, 称为n 个事件的和, 记作 A1+A2+An 或 A1A2An。 可列个事件的和：可列个事件中至少有一个事件发生, 记作：,多个事件的和,事件的交(积),两个事件A与B同时发生, 即“A且B”, 是一个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB。,易知 A = A A = ,推广,事件的差,“事件A发生而事件B不发生”, 作为一个事件, 称为事件A与B的差。它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合； 记作AB 。,互不相容（互斥）事件

15、,事件A与B互不相容：如果事件A与B没有公共的样本点，不能同时发生, 即AB=, 称事件A与B互不相容(或称互斥)。 事件A发生，则事件B必不发生；事件B 发生，则事件A必不发生。 事件A与事件B不可能同时发生。,基本事件间是互不相容的 “n个事件互不相容”是指其中任何两个事件互不相容。,例：3个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC=。问这3个事件是否一定互不相容？画图说明！,解：不一定。,A,B,C,对立事件,事件A的对立事件：事件A不出现,即事件“非A”称为A的对立事件(或逆事件). 由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合. 记作。 A = ， A + = ，,由定义：对立事件一定

16、互不相容, 但互不相容事件未必对立。,“互斥”与“对立”比较图,两个对立事件只能有一件事件发生，不可能同时发生，也不可能同时不发生。 两个互不相容事件只是不可能同时发生，但不一定同时不发生。 对立事件只能是两个，而互斥的事件可以有多个。,A,B,C,完备事件组,若事件A1,A2,An为两两互不相容事件, 并且A1+A2+An= (必然事件), 则称它们构成一个完备事件组。 实际意义：每次试验时，必然发生且仅能发生完备事件组A1,A2,An中的一个事件。,最常用的完备事件组是： 1)某事件A与它的对立事件。,2)所有的基本事件构成的事件组。,概率论 集合论 样本空间（必然事件） 全集 不可能事件

17、 空集 子事件 AB 子集AB 和事件 AB 并集AB 积事件 AB 交集AB 差事件 A-B 差集A-B 对立事件 补集,事件关系的小结,互不相容事件、对立事件以及完备事件组,事件的运算,交换律：ABBA，ABBA 结合律： (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律： (AB)C(AC)(BC)(AB)C(AC)(BC)A(BC)=AB AC 对偶律(De Morgan) ：,例 试验E为掷一颗骰子,观察其出现的点数.记A=“奇数点”, B=“点数小于2”,C=“偶数点”,D=“点数不超过4”. 请写出试验E的样本空间及各事件间的关系.,解,=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5, B=1, C=2,4,6, D=1,2,3,4，,B A , B D ,A和C互为对立事件,B和C、 A和C为互不相容事件。,例 在产品质量的抽样检验中,每次抽取一个产品, 记事件An =“第n次取到正品”, n=1,2,3. 请用事件 运算的关系来表示下列事件：,(1)前两次都取到正品,第三次未取到正品;,(2) 三次都未取到正品;,(3)三次中只有一次取到正品;,(4)三次中至少有一次取到正品;,(5)三次中至多有一次取到正品。,练一练,A,