椭圆的几何性质.pptx

1、高中二年级上学期第7课,中学数学,主讲人 官琪,北京市第九中学,椭圆-2,问题1：解析几何研究问题的基本思路是什么？,问题1：解析几何研究问题的基本思路是什么？ 1.由曲线求它的方程；,问题1：解析几何研究问题的基本思路是什么？ 1.由曲线求它的方程； 2.利用方程研究曲线的性质.,问题2：研究曲线几何性质有何意义？,问题2：研究曲线几何性质有何意义？ 研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.,问题3：怎样来研究曲线的几何性质呢？,问题3：怎样来研究曲线的几何性质呢？ 通过对曲线方程从范围、对称性、特殊点、特性等方面进行讨论，研究曲线的几何特征.,下面,我们就开始以椭圆 为例

2、，研究椭圆的几何性质.,一.范围,一.范围,一.范围,一.范围,同理可得，,一.范围,同理可得，,一.范围,思考 如果将椭圆的标准方程变形为 ，则这个椭圆方程可以看成两个函数式，如何从函数的角度看待椭圆的范围?,二.对称性,二.对称性,将-x带入方程试一试？,二.对称性,将x 换为- x，带入方程试一试？ 结论：椭圆关于y轴对称,二.对称性,将y 换为- y，带入方程试一试？,二.对称性,将y 换为- y，带入方程试一试？ 结论：椭圆关于x轴对称,二.对称性,将x,y 同时换为-x,- y，带入方程试一试？,二.对称性,将x,y 同时换为-x,- y，带入方程试一试？ 结论：椭圆关于原点对称,

3、二.对称性,关于x轴、y轴 原点对称,三.顶点,令y=0，得,三.顶点,令y=0，得,三.顶点,令y=0，得,所以椭圆与x轴的交点为,三.顶点,同理，令x=0，得,三.顶点,同理，令x=0，得,所以椭圆与y轴的交点为,三.顶点,A1,A2,B1,B2,思考 (1)观察椭圆图形，找出与a、b、c相等的线段？ (2）a、b、c的几何意义是什么？,思考 (1)观察椭圆图形，找出与a、b、c相等的线段？ (2）a、b、c的几何意义是什么？,四.离心率,四.离心率,四.离心率,（1） e 越接近 1，椭圆就越扁; （2）e 越接近 0，椭圆就越圆.,思考 （1）当e 等于1或0时,椭圆曲线变成了什么曲线

4、?,思考 （1）当e 等于1或0时,椭圆曲线变成了什么曲线?,答：e 等于1时，曲线变成线段|F1F2|;e 等于0时，椭圆变成圆.,思考 （2）说明下面在椭圆标准方程推导过程中出现的式子的几何意义.,练习：说出椭圆 的范围、顶点、对称性、离心率。,例1求椭圆 的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形.,解：将椭圆方程化为标准方程,解：将椭圆方程化为标准方程 可知次椭圆焦点在x轴，且长半轴长 a=3，短半轴长b=2；又得半焦距,因此，椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率 ； 焦点坐标分别为 和 顶点坐标分别为（3,0）,（-3,0） （0,2），(0,-2),为了

5、画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 由 ，可以画出椭圆在第一象限的图形；,列表如下：,2,1,-3,-2,-1,-1,1,-2,2,3,根据对称性，可得椭圆曲线为：,-3,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）经过点P(2,0)、Q(0,3)； （2）焦距是12，离心率 .,解 （1）由题意可知椭圆焦点在x轴， a=3，b=2，所以椭圆方程为,解 （1）由题意可知椭圆焦点在x轴， a=3，b=2，所以椭圆方程为,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 （2）焦距是12，离心率 .,解 由题意可知椭圆焦点位置不确定 2c=12，得c=6，离心率为 ，a=10，,解 由题意可知椭圆焦点位置不确定 2

6、c=12，得c=6，离心率为 ，a=10， 所以椭圆方程为 或,随堂练习 1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 （1）x29y281； （2）16x2y225；,解 （1）将椭圆方程化为标准方程,解 （1）将椭圆方程化为标准方程,显然，焦点在x轴,且,解 （1）将椭圆方程化为标准方程,显然，焦点在x轴,且,所以，椭圆x29y281的长轴长为18，短轴长为6，离心率为 ； 焦点坐标为 和 ， 顶点坐标为（9,0）,（-9,0）,（0,3）,（0,-3）.,随堂练习 1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 （2）16x2y225；,解 （2）将椭圆方程化为标准方程

7、,显然，焦点在y轴,且,显然，焦点在y轴,且,所以，椭圆16x2y225的长轴长为10，短轴长为 ，离心率为 ; 焦点坐标为 和 ， 顶点坐标为（0,5）,（0,-5）,（0, ）,（0, - ）.,2.已知椭圆 的方程为 ： （1）与椭圆C有相同焦点的椭圆有几个？写出其中两个椭圆的方程； （2）与椭圆C有相同焦点且经过点 的椭圆有几个？写出符合条件的椭圆的方程.,答案： （1）这样的椭圆有无数个，例如 或,2.已知椭圆 的方程为 ： （2）与椭圆C有相同焦点且经过点 的椭圆有几个？写出符合条件的椭圆的方程.,答案： （2）,3. 若椭圆 的离心率是 ，求m的值.,答案： 或,（2）设椭圆的对

8、称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，求这个椭圆的离心率。,解：（1）设另一个焦点为点D，,解：（1）设另一个焦点为点D，,解：（1）设另一个焦点为点D，,解：（1）设另一个焦点为点D，,小结,求离心率的方法： 1.分别求出a，c的值，再根据离心率公式求值； 2.设而不求，利用a，c的齐次方程求值.,练习：若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度、焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_,练习：若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度、焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_,答案：,设点 坐标为 ，,解法一：,设点 坐标为 ，,解法一：,设点 坐标为 ，,解法一：,联立方程，,解得，,的

9、面积为,设点 坐标为 ，,解法二：,整理得，,解法二：,整理得，,其后如解法一.,解法二：,设点 坐标为 ，,解法三：,设点 坐标为 ，,解法三：,设点 坐标为 ，,解法三：,其后如解法一.,解法四：,解法四：,解法四：,解得， 或,解法四：,解得， 或,的面积为,解法五：,解法五：,解法五：,解法五：,解法五：,解法五：,解法五：,的面积为,解法六：,解法六：,解法六：,或,解法六：,或,的面积为,解后反思1：,解后反思1：,解后反思1：,解后反思1：,解后反思1：,例3 1970年4月24日，我国发射的第一颗人造地球卫星，运行的轨道是以地球中心为一个焦点tuoyuande，近地点与地球表面相距439 km，远地点与地球表面相距2384km.已知地球半径为6371 km，试建立适当的平面直角坐标系，求这颗卫星运行轨道的近似方程。,解：以卫星运行的椭圆形轨道的中心O为原点，如图建立直角坐标系，使地球中心在x轴上.,设所求的卫星运行轨道的方程为,设所求的卫星运行轨道的方程为 由已知得， a-c=439+6371=6810， a+c=2384+6371=8755，,解得， a=7782.5，c=972.5，,解得， a=7782.5，c=972.5， 因此，,解得， a=7782.5，c=