高三数学指数与指数函数.ppt

1、要点梳理 1.根式 （1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n1且nN*），那么这 个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做 _,其中n1且nN*.式子 叫做_, 这里n叫做_，a叫做_.,指数与指数函数,a的n次方根,根式,根指数,被开方数,基础知识 自主学习,（2）根式的性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_ 表示. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 相反数,这时，正数的正的n次方根用符号_表示, 负的n次方根用符号_表示.正负两个n次方根 可以合写为_（a0）. =_.,a,当n为奇数时， =_; 当

2、n为偶数时， =_. 负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正整数指数幂： （nN*）； 零指数幂：a0=_（a0）； 负整数指数幂：a-p=_（a0，pN*）；,a,1,正分数指数幂： =_（a0，m、nN*， 且n1）； 负分数指数幂： = = (a0,m、n N*,且n1). 0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂 _. （2）有理数指数幂的性质 aras= _(a0,r、sQ); (ar)s= _(a0,r、sQ); (ab)r= _(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,0,没有意义,3.指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),y1,y1,

3、0y1,0y1,减函数,增函数,基础自测 1.已知a 则化简 的结果是 （ ） A. B. C. D. 解析,C,2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递 增的是 （ ） A.y=x3 B.y=-x2+1 C.y=|x|+1 D.y=2-|x| 解析 因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函数 y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+）上单调递减，所以排 除B、D.,C,3.右图是指数函数（1）y=ax， （2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx 的图象,则a，b，c，d与1的大 小关系是 ( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc,解析 方法一 当

4、指数函数底数大于1时，图象上升， 且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴； 当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内, 底数越小，图象越靠近x轴. 故可知bd1a1b1, ba1dc，故选B. 答案 B,4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于 （ ） A.5 B.7 C.9 D.11 解析 f（x）=2x+2-x，f（a）=3， 2a+2-a=3， f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a =（2a+2-a）2-2=9-2=7.,B,5.若函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数，则有 （ ） A.a=1或2 B.a=1 C.a=2 D.a0且a1 解

5、析 a=2.,C,题型一 指数幂的化简与求值 【例1】计算下列各式：,题型分类 深度剖析,先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运 算性质进行计算. 解,思维启迪,根式运算或根式与指数式混合运算时,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数.,探究提高,知能迁移1,解,题型二 指数函数的性质 【例2】(12分)设函数f(x)= 为奇函数. 求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 第(

6、2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.,思维启迪,解 (1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R， f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x）， 2分 2(a-1)(2x+1)=0，a=1. 6分 方法二 f(x)是R上的奇函数， f(0)=0，即 a=1. 6分 （2）由(1)知， 设x1x2且x1,x2R， 8分,10分 f(x2)f(x1),f(x)在R上是增函数. 12分 (1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函 数,则有f(0)=0,即可求得a=1. （2）由x1x2推得 实质上应用了函数 f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.,探究提高,知能迁移2 设 是定义在

7、R上的函数. （1）f（x）可能是奇函数吗？ （2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性. 解 (1)方法一 假设f(x)是奇函数,由于定义域为R, f（-x）=-f（x）,即 整理得 即 即a2+1=0,显然无解. f（x）不可能是奇函数.,方法二 若f(x)是R上的奇函数， 则f(0)=0,即 f(x)不可能是奇函数. (2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x), 即 整理得 又对任意xR都成立， 有 得a=1. 当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性， 任取x1,x2R且x1x2,当 f(x1)0，即增区间为0,+),反之(-,0 为减区间. 当a=-1时，同理可得

8、f(x)在（-，0上是增函数， 在0，+）上是减函数.,题型三 指数函数的图象及应用 【例3】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. 思维启迪,化去绝对值符号,将函数写成分段函数的形式,作图象,写出单调区间,写出x的取值,解 （1）由已知可得 其图象由两部分组成： 一部分是： 另一部分是：y=3x (x0) y=3x+1 (x-1).,向左平移 1个单位,向左平移 1个单位,图象如图： (2)由图象知函数在（-，-1上是增函数， 在（-1，+）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 在作函数图象时,首先

9、要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.,探究提高,知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0,且a 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_. 解析 数形结合. 当a1时，如图,只有一个公共点，不符合题意. 当0a1时，如图,由图象知02a1,1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当01，x-时,y0;当a1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速 度越快. 2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、 (0,1)、(-1, ).,方

10、法与技巧,思想方法 感悟提高,3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要 注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组） 来求值，或用换元法转化为方程来求解. 1.指数函数y=ax (a0,a1)的图象和性质与a的取值 有关，要特别注意区分a1与0a1来研究. 2.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0 (0)的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后“新元”的范围.,失误与防范,一、选择题 1.下列等式 中一定成立的有 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析,A,定时检测,2.函数f(x)=ax-b的图象如右图， 其中a、b为常数，则下列结 论正

11、确的是 （ ） A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,解析 由图象得函数是减函数， 00,即b0.从而D正确. 答案 D,3.已知函数y=4x-32x+3,当其值域为1,7时,x的取 值范围是 （ ） A.2，4 B.(-，0 C.(0，12，4 D.(-，01，2 解析 y=(2x)2-32x+3 2x-1，12，4， x(-，01，2.,D,4.定义运算：a*b= 如1*2=1,则函数f(x) =2x *2-x的值域为 （ ） A.R B.(0,+) C.(0，1 D.1，+) 解析 f（x）=2x *2-x= f（x）在(-，0上是增函数， 在(0，+)上是减函数， 0f(x

12、)1.,C,5.若函数 则该函数在(-，+)上是 （ ） A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 解析 令u(x)=2x+1,则 因为u(x)在（-, +)上单调递增且u(x)1,而 在（1,+)上 单调递减，故 在(-,+)上单调递 减，且无限趋于0，故无最小值.,A,6.函数 的部分图象大致是如图所 示的四个图象中的一个，根据你的判断,a可能的取 值是 （ ） A. B. C.2 D.4,解析 函数为偶函数，排除，又函数值恒为正 值，则排除，故图象只能是，再根据图象先增 后减的特征可知2a-31,即a2,符合条件的只有D选 项，故选D. 答案

13、 D,二、填空题 7. 若f(x)=a-x与g(x)=ax-a (a0且a1)的图象关于直 线x=1对称，则a=_. 解析 g（x）上的点P（a，1）关于直线x=1的对称 点P(2-a,1)应在f(x)=a-x上， 1=aa-2.a-2=0,即a=2.,2,8.设函数f(x)=a-|x| (a0且a1),若f(2)=4，则f(-2) 与f(1)的大小关系是_. 解析 由f(2)=a-2=4,解得a= f(x)=2|x|,f(-2)=42=f(1).,f(-2)f(1),9.(2009江苏)已知 函数f(x)=ax,若实数 m、n满足f(m)f(n),则m、n的大小关系为_. 解析 函数f(x)=ax在R上是减函数. 又f(m)f(n),mn.,mn,三、解答题 10.已知对任意xR,不等式 恒成 立，求实数m的取值范围. 解 由题知:不等式 对xR恒 成立， x2+x0对xR恒成立. =（m+1）2-4（m+4）0. m2-2m-150.-3m5.,11.若函数y=a2x+2ax-1(a0且a1)在x-1,1上的 最大值为14，求a的值. 解 令ax=t,t0，则y