数学物理方法第11章.ppt

1、第十一章 柱函数,11.2 贝塞尔方程,11.1 三类柱函数,11.4 虚宗量贝塞尔方程,11.5 球贝塞尔方程,11.3 柱函数渐进公式,柱坐标系中Laplace方程为,将变量变 与 和 z 分离,称为贝塞尔方程,称为虚宗量贝塞尔方程,11.1 三类柱函数,（一）、三类柱函数,第二类柱函数,第一类柱函数,第三类柱函数,为阶贝塞尔函数,为阶诺伊曼函数,为第一种和第二种汉克尔函数,当 x0 时，,（二）、x=0， x=处的自然边界条件,剩下,若研究区域含x=0，要去掉,称 x=0 处的具有自然边界条件,当 x 时，,不可任意舍弃其一,若研究区域圆柱外区域，要保留,(三）、 三类柱函数的递推关系,

2、有递推关系,证明：,具体写出导数关系,类似有,消去J(x),得证, =0时，由关系, =1时，由关系,或,下面讨论柱坐标系下，拉斯方程或亥姆霍兹方程分离变量得到的贝塞尔方程在柱内的本征值问题,11.2 贝塞尔方程,（一）、本征值问题,亥姆霍兹方程,柱侧面有齐次边界条件,、 是常数，=0或=0，或、均不为零时，分别表示 =a 端有第一、第二、第三类齐次边界条件,贝塞尔方程,柱侧面有齐次边界条件0,（1）、 =a 端有第一类齐次边界条件,可见J0(x)是震荡衰减的偶函数,可见J1(x)是震荡衰减的奇函数,Jn(x)=0 有无限多实根,由边界条件,设第n个零点根为,本征值由,本征值,本征值函数,（2

3、）、 =a 端有第二类齐次边界条件,本征值,（3）、 =a 端有第三类齐次边界条件,利用关系,本征值,(二）、贝塞尔函数的正交性,对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区减0，a上带 全重正交,(三）、贝塞尔函数的模,以下令,由贝塞尔方程,代入,代入得,所以,当 x0 时，,因为,所以,（1）、 =a 端有第一类齐次边界条件,而,（2）、 =a 端有第二类齐次边界条件,（3）、 =a 端有第三类齐次边界条件,(四）、广义Fourier级数,系数,积分带全重,第三类,第二类,第一类,例：计算积分,解：,例2 在区间 上， 为基 ，把函数 展开为傅里叶-贝塞尔级数。,解 依（11.2.13），（11.2

4、.14）， 其中系数 这里的 由（11.2.11）给出，本征值 而 是 的第n个零点，可由 贝塞尔函数表查出。这样，,令 ，应用（11.2.14） 从而,例3 在傅里叶光学中常用到圆域函数，其定义是 试将 展开为傅里叶-贝塞尔积分,解 依（11.2.18）， 的傅里叶-贝塞尔积分 中的 应是,把 记作x，则 应用（11.2.17）,例5 用匀质材料制作劈形细杆，宽度很小，首尾 一样，取x轴沿杆身，坐标原点在削尖的一端，杆 长为 l，粗端是自由的。已知初始位移为f(x),初始 速度处处为零，求解杆的纵振动。,解：本例虽非圆柱问题，却也用到贝塞尔函数。 尖劈的横截面积S(x)随x而异。记粗端的高为

5、 h,则x处的高y=(h/l)x，记尖劈的宽为，则S(x)= y = hx/l,现推导这种杆的纵振动方程，设想在杆上截取一小 段B，这小段的两端分别受到A段、C段的拉力 ，其合力为 B段的质量是 。于是，B 段的运动方程是 即 这样，本例所研究的定解问题是,在尖端x=0，没有提出边界条件。下面将会发现在 x=0有自然边界条件。 用分离变数法，以u(x,t)=X(x)T(t)代入（11.2.26）和（11.2.27），可得,方程（11.2.29）是以kx为宗量的零阶贝塞尔方程。 它在x=0有自然边界条件，其在x=0为有限的解是,代入其次边界条件（11.2.30），有 得本征值,其中 是 的第n个

6、零点。这样，本征函数是 至于方程（11.2.28）的解，对于 它是 对于 它是,把本征解叠加起来，,为决定系数 ，将通解代入初始条件 (11.2.28),由第二式知 再把第一式右边的f(x)展开为贝塞尔级数，然后比较两边系数，,这样，本例的解是,例6 一圆柱体半径为 ，高为L，侧面和下底面温度保持为 ，上底面绝热，初始温度为 求圆柱体内各处温度u的变换情况。,解： 采用柱坐标系，极点在下底中心，z轴沿着圆柱的轴。定界问题表为,首先把边界条件化为齐次，为此令,则,这是圆柱内部的热传导问题，边界条件全是齐次的。查看9.1末的表。计及i)上下底的齐次边界条件，ii)圆柱轴的自然边界条件，iii)m=

7、0 查得：,以此代入边界条件（11.2.35）容易求得本征值 其中p为非负整数。又代入边界条件（11.2.34）容易求得本征值 其中 是 的第n个零点。,把以上特解叠加起来，,为确定系数 ，将上式代入初始条件（11.2.36），,由此可见，应以 为基而将 展为傅里叶-贝塞尔级数，以 为基而将 展为傅里叶级数。然后比较两边系数，即得,将上式代入（11.2.37），又将（11.2.37）代入（11.2.33）即得本例的解,(五）、母函数、加法公式,加法公式,母函数,以下积分关系有用，因为,因为,（六）诺依曼函数,图11-3描画了 的图像。明显可见，当 ， 。其实，所有的诺依曼函数都有此性质：当 前

8、此，研究圆柱内部问题，圆柱轴 上的自然边界条件排除了诺依曼函数。但如果研究的是空心圆柱之类的区域，并不涉及 的 自然边界条件，那就不能排除诺依曼函数。,例7 匀质空心长圆柱体，内外半径分别为 初始温度分布是 ，放入温度为 的烘箱里 进行保温。设圆柱内外表面的温度均保持为 。 求解柱内各处温度u的变化情况。,解 定界问题为：,首先移动温标的零点，使边界条件化为齐次，,查看9.1末的表。平面极坐标不过是缺少z轴的柱坐标系，因此不考虑表中的Z（z），m=0，查得,以此代入边界条件（11.2.48），,从这个齐次线性代数方程组只能解出没意思的A=0=B，除非系数行列式等于零，即,将以上本征解叠加起来，

9、,其中 是尚待确定的系数。为确定 以（11.2.50）代入初始条件（11.2.49）,以 为基，将上式右端的 展开，比较两边系数就可定出,这样，本例的解是（11.2.47），其中的v由（11.2.50）给出。,（七）汉克尔函数,第一式是朝 方向传播的波，亦即向外发散的波；第二式是朝 方向传播的波，亦即向内汇聚的波；第三和第四式的变数 是分离的，他们是驻波。,如果修改时间因子为 ，则 对应于汇聚波， 对应于发散波， 仍对应于驻波。,例8 半径为 的长圆柱面，其径向速度分布为 试求解这柱面所发射的稳恒声振动的速度势 ，设 远小于声波的波长,解： 本例正是7.2所说的没有初始条件的问题。 这里研究的

10、速度势u满足二维波动方程。在横剖面上取平面极坐标系，极点在柱轴上，则定界问题是,为计算方便，边界条件例的 即 写成了 。这就要求约定在计算的最后结果中也应取其实部。 查9.1末的表。不考虑Z(z)，计及i）问题与 无关即m=0，ii）边界条件（11.2.51）的时间因子 ，查得,且 ,即,考虑到这是声波发射的问题，柱函数 应取为 ，而舍弃 本例的k只有 这个唯一的值，所以无需叠加，,为确定系数A，把（11.2.52）代入边界条件（11.2.51），,因 ，即 很小。因而可以引用（9.3.41）和（9.3.42）,即,由此， 于是得答案,在远场区即 大的地方，用渐近公式（11.1.5）,按约定取

11、实部,这是振幅按 减小的柱面波。,例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体， 下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为u=u0。,泛定方程,边界条件,解：,代入极坐标系中Laplace方程,边界条件,柱侧面有齐次边界条件 0,边界条件,边界条件,由,Fourier级数展开,上面讨论柱坐标系下，柱侧面有齐次边界条件 0,11.4 虚宗量贝塞尔方程,（一）、本征值问题,但在柱上、下底有齐次边界条件时，只有没意义的解,故，在柱上、下底有齐次边界条件时 0,有虚宗量贝塞尔方程,令,和,为虚宗量贝塞尔方程,令,为m阶贝塞尔方程,m阶虚宗量贝塞尔函数为实数,m阶虚宗量贝塞尔函数为实数,对于整数m,

12、寻找另一线性无关解，定义,称为虚宗量汉克尔函数,称为虚宗量汉克尔函数,当=m时,可计算出Km(x),x=0 是Km(x)的奇点,而,故虚宗量贝塞尔方程解为,实际问题中，在柱上、下底有齐次边界条件，柱侧面有非齐次边界条件时，会出现虚宗量贝塞尔函数,例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体， 上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为u=u0。,泛定方程,边界条件,解：,代入极坐标系中Laplace方程,代入,令,为零阶虚宗量贝塞尔函数,边界条件,求傅氏变换,Fourier级数展开,故,因此,亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为,首先试图将此变量变r与 和 分离,11.5 球贝塞尔方程,称为球函数方程,第一式,这称为 l 阶球贝塞尔方程,令,若 k=0,l 阶球贝塞尔方程退化为欧拉型方程,化为,l 阶球贝塞尔方程的线性独立解为,（一）、线性独立解,故l 阶球贝塞尔方程解为,(二）、 递推关系,令,递推关系,(三）、 初等函数表示,(四）、 x0, x的行为,(五）、 本征值问题,（=a 端有第一类齐次边界条件）,本征值,本征函数,本征值,本征函数,广义Fourier级数,系数,广义