控制系统的状态空间模型

1、控制系统的状态空间模型,内容提纲,状态与状态空间 系统的状态空间描述 由状态空间模型推导输入-输出模型 由输入-输出模型建立状态空间模型,状态与状态空间,内部变量,系统动态过程的两类数学描述,系统的外部描述：输入-输出模型 避开表征系统内部的动态过程，直接反应系统外部变量组间的动态因果关系,系统的内部描述：状态空间模型 系统的内部结构和内部信息可知。由状态方程和输出方程来表征。 状态方程：用以反应系统内部变量x1, x2 , xn和输入变量u1, u2, , um间的动态因果关系 输出方程：用以反应系统内部变量x1, x2, xn与输入变量u1, u2, , um和输出变量y1,y2,yl间的

2、转换关系,“黑 箱”,“白 箱”,状态的定义,例1：,外力F(t)为输入量，设x(t)为输出量。输入-输出模型：,只有给定了初始速度v(t0)和初始位移x(t0)以及从t0开始的输入量F(t)，才能唯一地确定质量M在任意时刻的位移和速度。 位移和速度组成该系统的状态！,状态：描述系统的最小一组变量（状态变量），只要已知在t=t0时刻的该组变量值和tt0时刻的输入，便能完全确定在tt0的任意时刻系统的任何一个内部变量。,注释：,状态对系统的完全表征性：只要已知在t=t0时刻的该组变量值和tt0时刻的输入，便能完全确定在tt0的任意时刻系统的任何一个内部变量。 最小性：从物理直观上看，“最小”的含

3、义是减少其中的任一个变量就会破坏它们对系统行为表征的完全性，而增加一个变量将不增加行为表征的信息量；从数学的角度来看，“最小”指它们是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组。 系统维数：状态变量的个数 状态选取的不唯一性：系统内部变量的个数通常大于状态的维数n，而任意n个线性无关的内部变量都有资格取成为系统的状态变量。,例2：,系统可选的状态有：,状态向量： 输入向量： 输出向量： 状态空间：状态向量的一个集合，状态空间的维数就等于状态的维数。状态空间直观上可理解为状态向量取值的一个向量空间。n维状态空间即为建立在实数域上的一个n维向量空间 。 状态轨迹（相轨迹）：某一个时刻t下的状态是空

4、间中的一个点。一段时间下状态的集合称为系统在这段时间的状态轨迹。,系统的状态空间描述,状态方程,状态方程：用以反应系统内部变量x1, x2 , xn和输入变量u1, u2, , um间的动态因果关系。通常用一组一阶微分方程来描述。,对于一个有n个状态的系统，其状态方程为,即：,一般非线性定常 （时不变）系统,线性定常系统的状态方程是一阶线性微分方程,其中aij, bij 都是常数。,状态变量的一阶导数是状态变量和输入变量的线性组合！,输出方程,输出方程：用以反应系统内部变量x1, x2, xn与输入变量u1, u2, , um和输出变量y1,y2,yl 间的转换关系的代数方程。,即：,线性定常

5、系统的输出量是状态变量和输入变量的线性组合！,其中cij, dij 都是常数。,即：,其中,m维输入l维输出的线性定常系统的状态空间模型：,简记为：(A, B, C, D),方块图,系统不同选取的状态间的关系,设系统给定， 和 是系统选取的两个状态向量，则按照状态的定义， 中的任意一个状态变量 都可以由 的线性组合唯一表示：,写出向量形式即有,其中,P非奇异,其中,若 ，则关于状态 的状态空间模型为,代数等价的系统, 可以认为描述的是同一个系统. 性质: 等价系统的传递函数相同, 特征多项式(方程)相同, 能控性, 能观性,稳定性都相同. 等价变换(简化手段): 各类(能控性等)规范型; 若当

6、标准型(A若当形),称系统 (A, B, C, D) 和 是代数等价系统。,例2：,RLC网络,图所示的RLC网络中，u1是输入量，u2是输出量。试选取适当的状态，并写出系统的状态空间模型。,由状态空间模型推导输入-输出模型,设线性定常系统的状态空间模型为,假设零初始条件（即x(0)=0)，进行拉普拉斯变换后得到系统的传递函数矩阵为,代数等价系统的传递函数相同！,由输入-输出模型建立状态空间模型,由输入-输出模型建立状态空间模型的过程称为实现。 系统的实现不唯一； 最小实现：维数最低的实现,实现的方法： 虚拟输出实现； 对偶实现； 并联实现； 串联实现。,虚拟输出法,Case 1. mn (严

7、格真系统）,对于系统 由 就能确定y(t)。所以可以取状态,实现过程：,第一步：定义虚拟输出,则,即：,第二步：取n个状态变量,Case 2. m=n (真系统）,第一步：分解传递函数,实现过程：,第三步：取n个状态变量,第二步：定义虚拟输出,则,即：,对偶实现,d=0时为严格真系统,则状态空间表达式可为,实现过程：,第一步：分式分解,第二步：取状态变量,Case 1. d=0,从而有,对偶实现,虚拟输出实现,并联实现（部分分式法）,将传递函数进行部分分式展开，可将一个高阶系统看成多个低价系统的并联。,其中,则有,Case 1. 极点互异,则系统的状态空间实现为,其中ci是g(s)在极点-pi处的留数，,实现过程：,反推验证,Case 2. 极点为重根,则系统的状态空间实现为,实现过程：,取状态变量,则有,从而,则系统的状态空间实现为,若当型实现,实现过程：,串联实现,将传递函数进行因式分解，可将一个高阶系统看成多个低阶（一阶、二阶）系统的串联。,其中,则有,对传递函数进