高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A版选修

1、1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念学习目标1了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识链接很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为0.62(dm/L)(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16(dm/L

2、)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了预习导引1函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 .瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率2.函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .要点一求平均变化率例1已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0

3、.01.(2)根据(1)中的计算，当|x|越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h (1)4.9 (x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪演练1求函数yf(x)3x22在区间

4、x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.要点二物体运动的瞬时速度例2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t10，求运动员在t s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解令t0，t为增量则4.96.5， 0，即运动员在t0 s时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近

5、”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；(2)求时间t0到t0t之间的平均速度；(3)求 的值，即得tt0时的瞬时速度跟踪演练2一质点按规律s(t)at21作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.在t2 s时，瞬时速度为 4a，即4a8，a2.要点三函数在某点处的导数例3求函数f(x)3x22x在x1处的导数解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，y|x1 (3x4)4

6、.规律方法求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.1如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2,2.1中相应的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2函数f(x)在x0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0

7、、h均无关答案B3已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4x C42x D42(x)2答案C解析yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.4已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1) .利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)作比求平均变化率；(3)取极限得导数f(x0) ，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率中，x不可能是()A大于0 B小于0C等于0 D大于0或小于0答案C2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A

8、1 B1C2 D2答案B解析 1.3如果某物体的运动方程为s2(1t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得4设函数f(x)可导，则 等于()Af(1) B3f(1) Cf(1) Df(3)答案A解析 f(1)5已知函数y3，当x由2变到1.5时，函数的增量y_.答案解析yf(1.5)f(2)1.6一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_答案3解析v初s|t0 (3t)

9、3.7利用定义求函数y2x25在x2处的瞬时变化率解因为在x2附近，y2(2x)25(2225)8x2(x)2，所以函数在区间2,2x内的平均变化率为82x.故函数y2x25在x2处的瞬时变化率为 (82x)8.二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A甲 B乙C相同 D不确定答案B解析在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0t处，W1(t0t)W2(t0t)，即0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_答案2解析由导数的定义，得f(0) a(x)bb0.又，ac，c0.2.11求函数yf(x)2x24x在x3处的导数解y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.y|x3 (2x16)16.12若函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值解f(