高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 新人教A版选修

1、椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆的过程和其标准方程的推导与化简过程2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点：椭圆标准方程的建立和推导方 法：合作探究一新知导学椭圆的定义1我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为_,那么平面内到两定点距离的和（或差）等于常数的点的轨迹是什么呢？2平面内与两个定点F1、F2的距离的_等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合），叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，_间的距离叫做椭圆的焦距当常数等于| F1 F2|时轨迹为_，当常数小于| F1 F2 |时，轨迹_

2、牛刀小试11已知F1、F2是两点，|F1F2|8， 1）动点M满足|MF1|MF2|10，则点M的轨迹是_. 2）动点M满足|MF1|MF2|8，则点M的轨迹是_.椭圆标准方程若椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为 （ab0）若椭圆的焦点在y轴上，椭圆的标准方程为 （ab0）若不能确定焦点的位置，就需分类讨论；或避免讨论利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax2By21(A0，B0，AB)；牛刀小试21椭圆1的焦点坐标是（ ） A（5,0）B（0，5） C（0，12） D（12,0）2椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（ ） A32 B16 C

3、8 D43求适合下列条件的椭圆的标准方程：1）两个焦点的坐标分别是（3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；2）两个焦点的坐标分别为（0，4），（0,4），并且椭圆经过点（，）（一）椭圆的定义 【例一】1）椭圆1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个点的距离为（ ） A4B6C8D2 2）如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为() A.3m C3m Dm0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2）椭圆1的两焦点为F1、F2，一直线过F2交椭圆于P、Q两点，则PQF1的周长为_

4、. （二）求椭圆的标准方程【例二】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1）两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； 2）焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)； 3）经过两点(2，)，(1，)跟踪训练2 1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2），且过点（，），则椭圆的标准方程为_.2）已知椭圆经过点（，），（，），求其标准方程（三）焦点三角形问题 【例3】如图所示，已知点P是椭圆1上的点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积如图所示，已知点P是椭圆1上的点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求

5、F1PF2的面积分析：解焦点三角形问题常用 几何法、代数法 跟踪训练3已知椭圆1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则F1PF2的面积为()A9 B12 C10 D、8 A（四）定义法解决轨迹问题【例4】、已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程跟踪训练4 已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程课时小结：课后作业：一、选择题1椭圆2x23y212的两焦点之间的距离是()A2 B C D2.2(2015广东文)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则

6、m()A2 B3 C4 D93(2015海南中学期中考试)已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|5，则|AF1|BF1|()A11 B10 C9 D164已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为_ _.5已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_ _.三、解答题6根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)经过两点A(0,2)，B(，)；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236有共同的焦点答案牛刀小试11）以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 2）线段F1F2牛刀小试2 1、C 2、B

7、3、1）1 2）1例一B C 跟踪训练1 B 20 例二答案1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，a5，b2a2c225169.椭圆的标准方程为1.2）解法一：椭圆的焦点在y轴上，可设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6.又c2，所以b2a2c232.椭圆的标准方程为1. 3）解法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，(1，)代入，得，解得.跟踪训练2 (1)(定义法)由椭圆的定义知，2a2，a.又c2，b26.又椭圆的焦点在y轴上，所求椭圆的标准方程为1.(2)(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，A

8、B)，把点(，)，(，)分别代入方程，列方程组为解得A，B1，椭圆标准方程为y21.例三分析：在椭圆1中，a，b2，c1，又点P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2由余弦定理知|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30|F1F2|2(2c)24式两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20得(2)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2)，SPF1F2|PF1|PF2|sin3084跟踪训练3 A例4以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4，0)，c4.由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0)跟踪训练4如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径由题意得动圆M和内切于圆C1，|MC1|