高中数学 《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿1 新人教A版必修

1、3.2.2 函数模型的应用实例（1）从容说课我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课函数模型的应用实例主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题.例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，

2、主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题.例3中的数学模型y=y0ert是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力.三维目标一、知识与技能1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.二、过程与方法1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数

3、据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.三、情感态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.教学重点根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我

4、们学习数学的重要目标之一.本节课函数模型的应用实例（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.二、例题剖析【例1】 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. 问（1）第几年后开始获利？（2）当总纯收入获利最大时，以8万元出售该鱼船，问总获利为多少？分析：首先要弄清什么是第几年后开始获利.开始获利指哪一年后，总收入大于成本与各种费用的和，就开始获利.从题目条件中可以知道，每年捕鱼收益是一个常量50万元，而各种费用是逐年增加的，并且第n年的各种费用为12+（n1）4=4n+8

5、，从中可以看出，从某一年开始，捕鱼收益不够支付费用，即要亏本.可以计算出10年以后如不出售该渔船将会亏本（504n+8），因为这里变量都是整数且数据较小，因此仅列表就能得出相应的结论.解：列出下表年数1234567891011年收入5050505050505050505050年各种费用1216202428323640444852年纯收入3834302622181410622总获利602643052708494100102100（1）由表格可以得到，第3年开始获利.（2）到第10年时，总纯收入获利最大为102+8=110.（注意：最后该船是以8万元出售的）【例2】 一辆汽车在某段路程中的行驶速度

6、与时间的关系如下图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80 km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90 km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75 km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65 km/h的速

7、度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50 km.以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360 km.对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s=50t（0t1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=

8、s+2004=50t+2004（0t1）.第2小时，该汽车以80 km的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s=50+80（t1）（1t2）.第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s+2054=80（t1）+2054（1t2）.以此类推，（让学生自主完成）可以得出50t+2004， 0t1，80（t1）+2054，1t2，90（t2）+2134，2t3，75（t3）+2224，3t4，65（t4）+2299，4t5.s=例2所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一

9、个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？（1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式50t， 0t1，80（t1）+50，1t2，90（t2）+130，2t3，75（t3）+220，3t4，65（t4）+295，4t5.s=（2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.【例3】 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0er

10、t，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是19501959年我国人口数据资料： 年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析

11、：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y=y0ert是指数型函数模型，它由y0与r两个参数决定，实际上，y0就是1950年的人数，r是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设19501959年的人口增长率分别为r1，r2，r9.由55196（1+r1）=56300，可得1951年的人口增长率r10.0200.同理可得，r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.于是，19501959年期间，我国人

12、口的年平均增长率为r=（r1+r2+r9）90.0221.由y0=55196可得我国在19501959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t（tN）.（请同学们利用计数器作出函数y=55196e0.0221t（tN）的图象，再根据表中19501959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y=55196e0.0221t（tN）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e0.0221t=来确定t的近似值.请同学们利用计数器进行计算：即t=（ln

13、ln55196）38.76.因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.以v0 m/s

14、的速度竖直向上运动的物体，t s后的高度h m满足h=v0t4.9t2，速度v m/s满足v=v09.8t.现以75 m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？答案：1.（1）由y=5e0.003t可知，当y=10时，t231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t4.9t2=100，解得t=.解得t11.480，t213.827.所以子弹保持在100 m以上的时间t=t2t112.35，在此过程中，子弹最大速度v1=v09.8t=759.81.48=60.498 m/s.四、课堂小结本节课