高考数学一轮总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.8 函数模型及函数的综合应用课件(理) 新人教B版.ppt

1、2.8函数模型及函数的综合应用,高考理数,1.三种函数模型图象与性质的比较,知识清单,2.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,【知识拓展】 对常见函数模型的理解 (1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k0),其增长特点是直线上升(x的系数k0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:形如y

2、=abx+c(b0,且b1,a0)的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:形如y=mlogax+n(a0,且a1,m0)的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快(a1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数模型:形如y=axn+b(a0)的函数模型,其增长情况随y=x中的取值变化而定,常见的有二次函数模型. (5)“对勾”函数模型:形如f(x)=ax+(a,b0)的函数模型,其图象如下:,其在很多数学问题中有广泛的应用,常利用基本不等式解决,有时利用函数的单

3、调性求解最值.,1.在现实生活中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系,对这类问题,可以构建一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对这类问题,可以构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决. 2.当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示,而是由几个不同的关系式构成时,可以构造分段函数模型,先将其看作几个不同问题,将各段的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. 例1(2015上海松江一模)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好

4、的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年. (1)当0x20时,求函数v关于x的函数表达式;,突破方法,方法1一次函数、二次函数模型(分段函数模型),(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值. 解析(1)由题意得当0x4时,v=2; 当4x20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在4,20内是减函数, 由已知得解得

5、所以v=-x+, 故函数v= (2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得 f(x)= 当0x4时, f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8; 当4x20时, f(x)=-x2+x=-(x2-20 x)=-(x-10)2+, f(x)max=f(10)=12.5. 所以当0x20时, f(x)的最大值为12.5.,即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 1-1(2016四川德阳四校联考,19,12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度

6、x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0 x200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/小时) 解析(1)由题意知:当0 x20时,v(x)=60; 当20x200时,设v(x)=ax+b. 再由已知得解得 故函数v(x)的表达式为,v(x)= (2)依题意并由(1)可

7、得 f(x)= 当0 x20时, f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为6020=1 200; 当20x200时, f(x)=x(200-x)=, 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. 所以,当x=100时, f(x)在区间(20,200上取得最大值. 综上,当x=100时, f(x)在区间0,200上取得最大值3 333,即当车流密度为100辆/千米时, 车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.,方法2指数函数与对数函数模型,1.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系. 2.应用指数函数

8、模型与对数函数模型时,关键是对模型的判定,但现在高考对这方面的要求不高.常见的题型是先设定模型,将有关的已知数据代入,确定其参数,从而确定模型. 3.建立了形如:y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(b0,且b1)的函数模型之后,通常利用指数函数或对数函数的性质及函数图象来处理. 例2(2016湖南长沙模拟)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克,根据市场调查,当16x24时,这种食品日供应量p万千克、日需量q万千克近似地满足关系:p=2(x+4t-14)(t0

9、),q=24+8ln.当p=q时的市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克? 解析(1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln(16x24,t0),三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 解析设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由已知得a=x,h=(30-x),0x30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 80