高中数学 初高中衔接教材 第七讲 不等式

1、第七讲 不等式现实生活中充满着不相等的数量关系，可以用不等式来处理，在初中学习不等式的基础上，对不等式要有进一步的理解，特别是理解不等式知识的体系，知道在实数范围内研究不等式、不等式的基础公理，在公理基础上研究不等式的基本性质，从而利用它们解不等式和证明不等式，解不等式的过程就是不等式不断等价转化的过程。在探索各种不等式的解法的过程中，体会不等式、方程和函数之间的内在联系。在证明不等式的基本性质和简单不等式的过程中，学习和掌握不等式证明的基本思想方法。有了对不等式的深刻理解，为进一步学习函数和其它数学知识提供必要的基础，也可以应用它们来解决一些简单的实际问题。从而也理解不等式（组）对于刻画不等

2、关系的意义和价值。不等式的基础是在实数范围内，它是研究不等式的公理，由此出发要理解和掌握不等式的八条（初中阶段只有三条）基本性质的来龙去脉。不等式的基本性质是研究不等式的理论依据，必须深刻理解每一个性质成立的前提条件。证明一个不等式正确时要找到合理的不等式性质，证明一个不等式错误时只要举出一个反例或用反证法。解不等式的过程就是利用不等式的有关性质进行不断等价转化和化简，最终得到所含未知数的范围，这也是解各种不等式的基本思想和方法。初中阶段我们已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。7

3、.1 一元二次不等式及其解法一、核心要点7.1.1 不等式的基本概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。2、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成的集合叫做这个不等式的集解。4、解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。7.1.2 不等式的基本性质性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。即如果，那么；如果，那么。性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）。性质3：不等式两边都乘以（或

4、除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）。7.1.3 一元一次不等式及不等式组1、概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式，一元一次不等式的一般形式为。2、一元一次不等式的解当时，；当时，；当时，若，则为任意实数，若，则无解。3、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式。4、不等式组的解法：转化为一元一次不等式，求解每个不等式，得公共部分，即为不等式组的解集。7.1.4 一元二次不

5、等式1、一元二次不等式：一个整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。2、它的一般形式是或。3、一元二次不等式的解法（1）化二次项系数为正；（2）观测相应的二次函数图像；对于一元二次不等式或的解，可以按照其对应方程的判别式、（其中）分为以下三种情况进行讨论。当时，函数的图像与轴有两个交点和。那么由图7-1可得：当时，函数的图像与轴只有一个交点（其中）。那么由图7-2可得：当时，函数的图像与轴无交点。那么由图7-3可得：xyOx1= x2图7-2yxO图7-3xyOx1x2图7-1二、考点突破例1、解下列不等式：（1）； （2）； 解：（1）原不等式

6、的解是（2）原不等式的解是（3）；（4）。解：（3）原不等式的解是（4）原不等式的解是练1、求下列不等式的解集：（1）；（2）；解：（1）原不等式的解是（2）原不等式的解是（3）；（4）。解：（3）原不等式的解是（4）原不等式的解是7.2 简单分式不等式的解法一、核心要点7.2.1 分式不等式的定义：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。7.2.2 简单分式不等式的解法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零二、考点突破例2、解下列不等式：（1）；（2）分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)

7、相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数解：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 解法(二) 原不等式可化为：(2) 原不等式可化为：练2、解不等式解：原不等式可化为：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：小结练习1、解下列一元二次不等式（1）；（2）；答案：（1）解集为：（2）解集为：（3）；（4）；答案：（3）解集为：（4）解集为：（5）；（6）。答案：（5）解集为：（6）解集为：2、解下列分式不等式：（1）；（2）；（3）3.不等式

8、的解集是 。4.不等式的解集是 .总结：归纳分式不等式的解法：（1） 化分式不等式为标准型：（2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如： 拓展：高次不等式的解法解不等式：.7.3 含参数的不等式的解法及恒成立问题一、核心要点7.3.1 含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此需要对参数的不同取值进行分类讨论而加以求解。一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行分类讨论，特别地，当二次项系数为零时可以转化为一元一次不等式来求解；（2）含参数的一元二次不等式，在其解的情况下不明确的情况下，需要对其判别式

9、分、三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其对应方程的根表示成形如的形式时，且两根中含参数，往往需要对其根分三种情况进行讨论，或借助韦达定理求解。7.3.2 与一元二次不等式有关的逆向问题给出了一个一元二次不等式的解集，则可知的符号和的两根，由韦达定理可知之间的关系。7.3.3 含参数的不等式的恒成立问题不等式恒成立，则不等式的解集为，一元二次不等式在上恒成立的条件是在上恒成立的条件是二、考点突破例3、已知是实常数，解关于的不等式：。答案：当时，；当时，不等式无解；当时，；练3、解关于的不等式：（1）；（2）。答案：（1）当时，；当时，为一切实数；当时，；（2）当时，；当

10、时，原不等式无解；当时，例4、如果不等式无解，求的取值范围。答案：练4、不等式的解为一切实数，求的取值范围。答案：综上所述：当时，原不等式的解为一切实数。注意：对二次项系数为零的情况的讨论。练5、若不等式的解集为，求的取值范围。解：练6、若关于的不等式的解集为，求实数的范围。答案：例5、设为参数，解关于的一元二次不等式。解：（1）当时，；（2）当时，原不等式可化为。若，当时，；当时，。若，。练7、解不等式。答案：当时，或；当时，；当时，或。例6、若不等式的解集为，求不等式的解集。答案：解集为：练8、已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集。答案：练9、不等式的解集为，求与的值。答案：练10、已

11、知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集。答案：练11、已知关于的不等式的解为，求的值分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与系数的关系可以求解解：由题意得：说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，且注意，从而小结练习练1、求关于的不等式的解解：原不等式可化为：(1) 当时，不等式的解为；(2) 当时， 时，不等式的解为； 时，不等式的解为； 时，不等式的解为全体实数(3) 当时，不等式无解综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解练2、已知关于的不等式的解为，求实数的值分析：将不等式

12、整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令解：原不等式可化为：所以依题意：练3、已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围解：显然不合题意，于是：7.4 含绝对值的不等式的解法一、核心要点我们知道，它表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离。因此，求不等式的解集就是求数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合。7.4.1 最简单的含绝对值的不等式的解法的解为；无解；无解；的解为或；的解为的一切实数；的解为一切实数；7.4.2 较简单的含绝对值的不等式的解法（1）；（2）；（3）的解法：先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。这种方法我们称为零点分段法。二、考点突破例7、解下列绝对值不等式：（1）；（2