复变函数与积分变换第四章.ppt

1、第四章 解析函数的级数表示,1 复数列的极限,2 复数项级数,4.1 复数项级数,4.1.1 复数列的极限,称 为复数列, 简称,为数列, 记为,定义4.1设 是数列， 是常数.,如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式,成立, 则称当n时, 收敛于,或称 是 的极限, 记作,或,复数列收敛与实数列收敛的关系,该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别,两个实数列的敛散性.,4.1.2 复数项级数,为复数项级数.称,为该级数的前 n 项部分和.,设 是复数列, 则称,级数收敛与发散的概念,定义4.2如果级数,的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛,这时称S为级数的和, 并

2、记做,如果 不收敛，则称级数发散.,复数项级数与实数项级数收敛的关系,定理4.2 级数 收敛的充要,条件是 都收敛, 并且,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,级数收敛的必要条件,定理4.3如果级数 收敛, 则,证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要,条件 知,重要结论: 发散.,于是在判别级数的敛散性时, 可先考察,?,定义4.3设 是复数项级数, 如果正项,级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 若,绝对收敛级数的性质,定理4.4若级数 绝对收敛, 则它收敛,并且成立,绝对收敛 和 都绝对收敛.,发散，而 收敛，则称级数条件收敛.,推论,解,例4.1,1 幂级数的概念,2 幂

3、级数的敛散性,3 幂级数的性质,4.2 幂 级 数,为复变函数项级数.,为该级数前n项的部分和.,设 是定义在区域D上的复变函数列,称,4.2.1 幂级数的概念,称为该级数在区域D上的和函数.,如果对 级数 收敛, 即,则称级数 在 点收敛, 且 是级数和.,如果级数 在D内处处收敛, 则称其在,区域D内收敛. 此时级数的和是函数,这类函数项级数称为幂级数.,当 或 时,或 的特殊情形,函数项级数的形式为,定理4.5 (Abel定理)若级数 在,处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时, 级数,发散.,4.2.2 幂级数的敛散性,收敛圆与收敛半径,(1) 对所有的正实

4、数都收敛.,级数在复平面内绝对收敛.,(2) 对所有的正实数都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散.,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收,敛的正实数.,设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:,由 , 幂级数 收敛情况有三种:,.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别,规定为,论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数,进行具体分析.,解,绝对收敛, 且有,在 内, 级数,例4.2 求级数 的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,收敛半径的计

5、算方法(一),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理4.6 (比值法)设级数 如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理4.7 (根值法)设级数 如果,则,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个性质.,性质4.1(1) 设级数 和 的收敛,4.2.3 幂级数的性质,(2) 设级数 的收敛半径为 r.,如果在 内, 函数 解析, 并且,则当 时,说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.,前面关于级数 的性质, 如果将 换成,之后, 对于级数 当然

6、也成立.,例4.3 把函数 表示成形如,的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,把函数 写成如下的形式:,当 即 时,所以,定理4.8设幂级数 收敛半径,为R, 并且在 内,则 是 内的解析函数, 且在收敛圆,内, 可以逐项求导和逐项积分, 即,(1) 当 时,(2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,则,特别地, 如果C是圆内部的以z0为起点、z为,终点的分段光滑曲线, 则,1 Taylor级数展开定理,2 将函数展开成Taylor级数,4.3 Taylor级数,实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及

7、进行数值计算的一种工具.,对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,Taylor级数. 这是解析函数的重要特征.,4.3.1 Taylor级数展开定理,R为 到D边界的距离,定理4.9 (Taylor展开定理) 设 在区域D,.,R,(D是全平面时, R=+),则 在 内可,展开为幂级数,其中,系数cn按上述表示的幂级数称为,在 点的Taylor级数.,Taylor展开式的惟一性定理,注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接,方法奠定了基础.,4.3.2 将函数展开成Taylor级数,将函数展开为

8、Taylor级数的方法:,1. 直接方法; 2. 间接方法.,1. 直接方法,由Taylor展开定理计算级数的系数,然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.,并且收敛半径,2. 间接方法,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,例4.5利用,并且收敛半径,同理,的Taylor级数.,解,故收敛半径,在 中，用z替换 -z, 则,逐项求导，得,令 则,根据例4.6，,

9、的Taylor级数.,负实轴向左的射线的区域内解析.,因为,并且由 有,所以,根据 ，把上式逐项积分，得,在z=0点的Taylor展开式.,实轴向左的射线的区域内解析.,因此在 内,可展开为z的幂级数.,根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下:,令z=0, 有,于是,成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,附: 常见函数的Taylor展开式,1 Laurent级数的概念,2 函数的Laurent级数展开,3 典型例题,4.4 Laurent级数,4.4.1 Laurent 级数的概念,如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可,展开为Taylor级数, 其

10、各项由z-z0的非负幂组成. 如果,个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.,本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数,及Z变换理论中起重要作用.,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,这种双边幂级数的形式为,同时收敛,Laurent级数,收敛,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分;,两收敛域有公共部分,结论:,常见的特殊圆环域:,幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析. (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.,对于Laurent级数，已经知道： Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数

11、在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成Laurent级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,4.4.2 函数的Laurent 级数展开,定理4.12(Laurent展开定理) 设,在此环域内可展开为Laurent级数,其中,C是圆,周 的正向.,注 函数f (z)展开成Laurent级数的系数,与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同, 但,内不一定解析, 所以不能化为z0处的导数,解析, 那么根据柯西-古萨定理,所以Laurent级数包含了Taylor级数.,Laurent展开式的惟一性定理,定理4.13 设函数f (z)在圆环域,内解析, 并且可以展开

12、成双边幂级数,注 函数在圆环域内Laurent展开式是惟一的. 因此,为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.,将函数在圆环域内展开成Laurent级数, 理论,(1) 直接方法 直接计算展开式系数,然后写出Laurent展开式,这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是,上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.,说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.,根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性, 可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将 函数展开成Laurent 级数.,(2) 间接方法,这是将函数展开成Laurent 级数的常用方法.,数在各个不同的圆环

13、域中有不同的Laurent展开式,(包括Taylor展开式作为特例). 这与Laurent展开式,的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一.,内展开成Laurent级数.,处都解析, 并且可分解为,4.4.3 典型例题,函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点,(1) 在 内, 有 则,于是在 内，,(2) 在 内, 有,于是在 内,(3) 在 内, 有,于是在 内,(4) 由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,内展开成Laurent级数.,展开的级数形式应为,因为,所以在 内,为Laurent级数.,解除z=0点之外, f (z)在复平面内处处解析,对任何复数z ,于是在 内,第四章 完,Niels Henrik Abel,(1802.8.5-1829.4.6),挪威数学家. 牧师的儿子, 家,境贫困. Abel 15岁读中学时, 优秀,的数学教师B. Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数,学天才, 对他给予指导. 1821年进入克利斯安那大学.,1824年, 他解决了用根式求解五次方程的不可能性,问题. Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了,极其出色的贡献, 然而他的数