人教版选修1-2第一章：统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

1、1.1 回归分析的基本思想及其初步应用,必修3(第二章 统计)知识结构,收集数据 (随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理

2、想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？,2、最小二乘估计,最小二乘估计下的线性回归方程：,回归直线必过样本点的中心,3、回归分析的基本步骤:,画散点图,求回归方程,预报、决策,这种方法称为回归分析.,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.,课堂互动讲练,该类题属于线性回归问题,解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关,然后再利用求回归方程的公式求解回归方程.,（1）画出散点图； （2）求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； （3）一名学生的数学成绩是96，试预测

3、他的物理成绩.,【思路点拨】先画散点图,分析物理与数学成绩是否有线性相关关系,若相关再利用线性回归模型求解预报变量.,【解】(1)散点图如图：,【题后点评】求回归直线方程的一般方法是:作出散点图,将问题所给的数据在平面直角坐标系中进行描点,这样表示出的两个变量的一组数据的相关图形就是散点图,从散点图中我们可以判断样本点是否呈条状分布,进而判断两个变量是否具有相关关系.,例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172的女大学生的体重。,1. 散点图； 2.回归方程：,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因

4、此选取身高为自变量，体重为因变量,探究？,身高为172的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是,其原因是什么?,（1）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。 （2）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：+其中和为模型的未知参数，e是y与 之间的误差,通常称为随机误差。,产生随机误差的原因是什么？,e 产生的主要原因： (1)所用确定性函数模拟不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观

5、测误差，如使用的测量工具不同等,函数模型与回归模型之间的差别,一次函数模型： y=bx+a,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y 的值由自变量x和随机误差项e 共同确定，即自变量x 只能解释部分y 的变化.,在统计中，我们也把自变量x称为解释变量， 因变量y称为预报变量.,线性回归模型： y=bx+a+e,随机误差,e的估计量,样本点：,相应的随机误差为：,相应的随机误差估计值为：,称为相应于点 的残差,实际上即为具体到某 点的随机误差估计值。,残差分析,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过

6、残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析。,以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.,由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因.,问：如何刻画模型拟合的精度？,相关指数：,(1)上式中分子称之为残差平方和，分母为确定的数,(2)R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.反之， 取值越小，则残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.,(3)

7、在例1中我们可以求出R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64是由身高引起的”。,其中：,解释,预报,1,问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？,1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体；模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。,建立回归模型的基本步骤：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量

8、;,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；,（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；,（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.,是否存在线性关系,对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块数学1中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用

9、适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决.,例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列于表中：,试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；,方法一：一元函数模型,产卵数,气温,变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系,对数,方法三：指数函数模型,由计算器得：z关于x的线性回归方程 因此y关于x的非线性回归方程为,当x=28 时，y 44 ，指数回归模型比二次函数模型更好,1)确定解释变量和预报变量; 2)画出散点图; 3)确定回归方程类型; 4)求出回归方程; 5)利用相关指数或残差进行分析.,(1)以施肥量x为解释变量，水稻产量y为预报变量，作出散点图； (2)

10、求y与x之间的回归方程，并求施肥量为28 kg时水稻产量的预报值； (3)计算残差，并计算残差平方和； (4)求R2，并说明其含义,（4）计算R2，并作出解释； （5）试预测该运动员训练47次及55次的成绩.,(4)计算相关指数R2 计算相关指数R20.9855.说明了该运动的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的 (5)作出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程1.0415x0.003875作为该运动员成绩的预报值 将x47和x55分别代入该方程可得y49和y57. 故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.,1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用,定量变量的取值一定是实数

11、，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.,如身高、体重、考试成绩、温度等等.,变量,定量变量,分类变量,两个定量变量的相关关系分析：回归分析（画散点图、相关指数R2、残差分析）,（定性变量）,对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.,在日常生活中，主要考虑分类变量之间是否有关系：,如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.,例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等.,分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男

12、、女两个值,两个分类变量的相关关系的分析： 通过图形直观判断两个分类变量是否相关； 独立性检验.,由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%患有肺癌。因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.,与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况.,为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：,吸烟与患肺癌列联表（列出两个分类变量的频数表）：,1、列联表,2、三维柱形图,3、二维条形图,从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小.,从二维条形图能看出，吸烟者中 患肺癌

13、的比例高于不患肺癌的比例.,4、等高条形图,等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例.,上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题.,现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设：,H0：吸烟与患肺癌没有关系,把数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：,吸烟与患肺癌的列联表：,如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多，即,|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.,为了使不同样本容量

14、的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量,若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小.,由列联表中数据，利用公式（1）计算得K2的观测值为：,（1）,其中n=a+b+c+d为样本容量.,在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：,也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”,但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.,利用随机变量K2

15、来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.,独立性检验：,如果 ，就判断H0不成立；否则就判断H0成立.,独立性检验的基本思想：,类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度的判断：,（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量 没有关系”成立.,（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理.,（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度

16、约为99%.,一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：,利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度.,具体作法是：,（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；,（2）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；,（3）如果k6.635，就以 1-P(K26.635)100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据.,（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；,（2）如果k7.879，就有99.5%的把握认为“X与

17、Y有关系”；,（3）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；,（4）如果k5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；,（5）如果k3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；,（6）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；,（7）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示 “X与Y有关系”.,临界值,例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？,解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：,根据联表1-13中的数据，得到,所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。,因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体,例2 为考察高中生的性别与是否喜