高二数学不等式证明一人教版知识精讲（通用）

1、高二数学高二数学不等式证明一不等式证明一人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 不等式证明一 二. 重点、难点： 1. 比较法： （1）差比法：baba0 通常对于多项式采用作差变形（因式分解，完全平方）判断符号。 （2）商比法：时，0, 0baba b a 1 通常对于指数式采用。 2. 综合法： 利用不等式的性质和已知不等式。 由已知逐步推导出结论。 3. 分析法： 从结论出发寻找能使结论成立的条件，进而将证明的目标转化，使它离已知条件越来 越近。 4. 综合分析法： 有些不等式的证明需一边分析，一边综合，称之为分析综合法，分析法的优点是利于 思考，因为它方向明确

2、，思路自然易于掌握，综合法的优点宜于表述，条理清晰，形成简 洁。 【典型例题典型例题】 例 1 a、b、c 为的三边，求证：。ABC)(2 222 cabcabcbacabcab 证明：证明：中左)222222( 2 1 222 cabcabcba 0)()()( 2 1 222 accbba 右中)()()( 222 cacbcbbcabaacab )()()(cabcbcabacba 三角形两边之和大于第三边 右中0 例 2 已知 a、b、，求证), 0(c*Nn 3 lg)( nnn cba nf 。)(2)2(nfnf 证：证： 3 lg)2( 222nnn cba nf 2 ) 3

3、lg()(2 nnn cba nf 是递增函数xylg 2 222 ) 3 ( 3 nnnnnn cbacba 9 2 222nnnnnnnnn accbbacba 0)()()( 9 1 222 nnnnnn accbba 例 3 a、b、，求证：), 0(c1cba 3 1 222 cba 证：证： 2222 )(1)(3cbacba 2222 )()(3cbacba 0)()()( 222222 222 222 accbba cabcabcba 例 4 ，且，试比较与的大小关系。), 0(ba、Nn1n nn ba 11 nn baba 解：解：)()( 11 nnnn bababa )

4、()( 11 abbbaa nn *)( 11 nn baba （1）当时 ba 11 nn ba0 （2）当时 ba 0 （3）当时 ba 11 nn ba0 综上所述 11 nnnn bababa 例 5 ，求证。), 0(ba、1)( ba b a 证：证： （1）时 ba 1 b a 0ba x b a y)(1)()( 0 b a b a ba （2）时 ba 1)( ba b a （3）时 ba 10 b a 0ba x b a y)(1)()( 0 b a b a ba 综上所述1)( ba b a 例 6 ，求证。) 1, 0(), 1 () 1, 0(xa| )1 (log|

5、 )1 (log|xx aa 证：证：)1 (log| )1 (log| | )1 (log| | )1 (log| )1()1( xx x x xx a a 1)1 (log 1 1 log 1 1 log )1( 2 )1()1( x x x x xxx 不等式成立 例 7 ，求证。), 0(cba、)(cba c ab b ac a bc 证：证： 左=)()()( 2 1 c ab b ac c ab a bc b ac a bc 222 2 1 222 abccba 例 8 且，证：。), 0(yx、1 yx9) 1 1)( 1 1 ( yx 证：证：)1)(1 () 1 1)( 1

6、 1 ( y yx x yx yx )(25)2)(2( y x x y y x x y 9225 例 9 ，求证。2,nNn1) 1(log) 1(lognn nn 证：证：左 2 2 2 ) 2 ) 1(log ( 2 ) 1(log) 1(log nnn nnn 1) 2 log ( 2 2 n n 即：5log4log3log 432 例 10 且，求证。), 0(cba、1cba3cba 证：证：3cba3)( 2 cba 即：2222acbcab baab2cbbc2caac2 即2)()()(222cacbbaacbcab 原命题成立 例 11 已知，求证：。0 babbaa11

7、 证：证：bbaa11 bbaa 1 1 1 1 *bbaa11 ，ba 11baba *式成立 命题成立 例 12 且，求证：。), 0(ba、1ba 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a 证：证： 4 25 ) 1 )( 1 ( b b a a abba 4 25 ) 1)(1( 22 abbaba254)(44 2222 ababbaba2542)(44 222 0)8)(14( 08334 22 abab abba abba21 ab 4 1 014ab08 ab *成立命题成立 【模拟试题模拟试题】 1. a、b 为正数，下列各不等式不正确的是（ ） A. B. 2 b a

8、 a b ba b a a b 22 C. D. bab a a b11 22 abba 211 22 2. 已知，下列四个中最大一个为（ ）1, 0baab A. B. 1b 2 log C. D. 1loglog 22 ba)(log 22 2 ba 3. 已知，求证：。0ba bab a a b11 22 4. 且，求证：。), 0(cba、1cba8) 1 1 )(1 1 )(1 1 ( cba 5. 已知，求证：。bacba2), 0(、abccaabcc 22 试题答案试题答案 1. C 2. B 3. 证：左右 bab a a b11 22 22 2233 ba abbaba 0 )()( 22 2 ba baba 4.