曲边梯形的面积与定积分.ppt

1、曲边梯形的面积与定积分,一、求曲边梯形面积的一般步骤 二、定积分 1.函数f(x)在区间a, b上的定积分的概念;,4.定积分是变量还是常量? 5.定积分的作用是什么?,教材研读,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),一. 求曲边梯形的面积,x=a,x=b,曲边梯形的特点 、只有一边是曲线 、其他三边是特殊直线,如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。,直线,几条线段连成的折线,曲线？,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,

2、A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,问题探究,（1）分割：将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y0所围成的 曲边梯形的面积。,（2）近似代替 ：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积S近似为：,S S1+ S2 + + Sn,（1）分割,把区间0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作,（2）

3、近似代替,（3）求和,（4）求极限,分割,近似代替,求和,求极限,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y0所围成的曲边梯形的面积。,解把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:,因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:,方案1,方案2,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。,（1）分割,（2）近似代替,（4）取极限,（3）求和,当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间

4、上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示小曲边梯形的面积,表示了曲边梯形面积的近似值,函数f(x)在区间a, b上的定积分的概念;,函数f(x)在区间a, b上的定积分,记作:,1.定积分的概念:,知识归纳,2.定积分的几何意义: 在区间a, b上函数f(x)连续且恒有f(x)0. 表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积分是一个确定的常数),2.定积分的几何意义: 在区间a, b上函数f(x)连续且恒有 f(x)0. 表示由直线x=a, x=b(ab), y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积分是一个确定的常数),3.定积分的作用 求曲边梯形的面积,应用1: 用定积分的概念, 写出 抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的阴影部分的面积,知识应用,应用2:,应用3: 请利用定积分的几何意义，表示出阴影部分的面积S.,应用4: 比较下列