13.4最短路径问题.ppt

1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题,看图思考：,为什么有的人会经常践踏草地呢？,绿地里本没有路，走的人多了 ,禁止践踏,爱护草坪,两点之间，线段最短,将军饮马问题：,两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：,将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？,这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。,P,两点之间线段最短.,根据：,B,A,(一)两点在一条直线两侧,例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边

2、饮水一次。问将军怎样走路程最短？,最短路线：,将军饮马：,A -P- B.,例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？,A,B,河,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,例2变式：已知：P、Q是ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使PQR的周长最短吗？,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A， 问：这位将军怎样走路程最短？,O,M,N,(三)二次轴对称：,一点在两相交直线内部,例3变式：已知P是ABC的边BC上的点，

3、你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使PQR的周长最短吗？,(三)二次轴对称：,一点在两相交直线内部,例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。,（四）二次轴对称：,两点在两相交直线内部,A/,B/,P,Q,例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？,（四）二次轴对称：,两点在两相交直线内部,.,.,.,.,.,.,A,A,B,B,C,D,M,O,N,例4变式：,（四）二次轴对称：,两

4、点在两相交直线内部,两点在一条河两侧,例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,B,A,(五)造桥选址问题,思维分析,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平

5、移到和B相连.,古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵!,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,问题延伸,如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直

6、线，桥要与河岸垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维方法,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，,将军饮马的实质：,（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。,（1）求最短路线问题- 通过几何变换找