3.4定积分的应用

1、,3.4 定积分的应用,一、微元法 二、平面图形的面积 三、平面曲线的弧长 四、空间立体的体积 五、物理应用,回顾,曲边梯形求面积的问题,3.4 定积分的应用,一、 微元法,(1) 分割：,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,在第i 个窄曲边梯形上任取,3.4 定积分的应用,(3) 求和：,(4) 取极限：,(2) 近似：,提示,3.4 定积分的应用,3.4 定积分的应用,当所求量 符合下列条件,元素法的一般步骤,3.4 定积分的应用,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,3.4 定积分的应用,3.4 定积分的应用,二

2、、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,3.4 定积分的应用,解,3.4 定积分的应用,例1 求曲线 及直线 所围成的图形的,面积.,于是所求面积,解,3.4 定积分的应用,面积.,可求得交点为,而若选x为积分变量，则所求面积,例2 曲线 及直线 所围成的图形的,3.4 定积分的应用,若选取 以作为积分变量，则所求面积,解,3.4 定积分的应用,可求得交点为,观察图形，我们选取y作为积分变量计算简便,解,3.4 定积分的应用,由对称性,例4 求椭圆 所围成的图形的面积.,3.4 定积分的应用,2. 极坐标情形,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,面积元素为：,所求曲边扇形的面积为：,

3、解,3.4 定积分的应用,例5 求心形线 所围成的图形的,面积.,3.4 定积分的应用,三、平面曲线的弧长,1. 直角坐标情形,设L是一条光滑的平面曲线弧，它在直角坐标系里的,长s.,光滑曲线是指曲线L上处处都有切线，并且切线随着,切点位置的变动是连续变化的，亦即 在区间,上具有一阶连续的导数.,3.4 定积分的应用,利用微元法，,取 为积分变量，积分区间为,任取一小区间,这个小区间上曲线的弧长,可以用该曲线在点P,得曲线的弧长元素,于是，所求曲线的弧长,解,3.4 定积分的应用,例6 计算曲线 上相应于 的一段,弧的长度.,3.4 定积分的应用,3.4 定积分的应用,2. 参数方程情形,若曲

4、线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,其中 、 在区间 上具有一阶连续导数，,解,3.4 定积分的应用,例7 计算正弦曲线 在一个周期内的长度等于,椭圆 的周长,将椭圆 化为参数方程,正弦曲线 在一个周期内的长度为,椭圆的周长为：,得证.,3.4 定积分的应用,3.4 定积分的应用,四、空间立体的体积,1. 平行截面面积为已知的立体的体积,设一立体位于过点 、 且垂直于 轴的两个,是连续函数，求立体的体积 ,体积元素,立体的体积,例8 一平面经过半径为,与底面交成 角,解 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,计算该平面截圆柱体所得立

5、体的体积 .,3.4 定积分的应用,的圆柱体的底圆中心,并,3.4 定积分的应用,2. 旋转体的体积,旋转体是指由一个平面图形绕该平面内一条定,圆柱,圆锥,圆台,直线旋转一周而成的立体，该直线称为旋转轴,圆柱、圆锥、圆台、球体等都是旋转体,3.4 定积分的应用,平行截面的面积为,所求旋转体的体积为,讨论由连续曲线 ，直线 与 轴,围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积,例9 计算由椭圆,所围图形绕,而成的旋转椭球体的体积.,解 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),3.4 定积分的应用,轴旋转而,3.4 定积分的应用,平行截面的面积为,所求旋转体的体积为,讨论由连续曲线 ，直线 与 轴,

6、围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积,例10 求曲线,则,3.4 定积分的应用,直线 及 轴所围成的图形,绕 轴旋转一周而成的旋转椭球体的体积.,解 选取 作为积分变量.,3.4 定积分的应用,五、定积分在物理上的应用,1.变力所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,解,3.4 定积分的应用,例11 半径为1m的半球形水池，池中装满了水，现将池,内的水全部抽出，问需要作多少功？,建立坐标系如图所示，,圆的方程为,选水深 为积分变量，,在 上任取小区

7、间,则这薄层水的重力近似为,将这薄层水抽出池外需作的功近似为,3.4 定积分的应用,在 上积分，即得所求的功：,3.4 定积分的应用,2.液体的压力,面积为 A 的平板,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,将某一薄板垂直于液面插入液体中，求此薄板的,平板一侧所受的压力为,一侧所受到的液体压力,小窄条上各点的压强,例12,密度为 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶,3.4 定积分的应用,内容小结,1.元素法的提出、思想、步骤.,2. 在不同坐标系下求平面图形的面积.,注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,3.旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,3.4 定积分的应用,内容小结,和引力等物理问题,5.利用“微元法”思想求变力作功、水压力,4.平面曲线弧长的概念,直