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文档简介

1、本节内容提要 Newton法 基本思想、算法、几何意义、局部收敛性 以及收敛速度、修正Newton公式、大范围 收敛的充分条件 割线法 方法概述、几何意义、算法、收敛性,2.3 Newton法与割线法,以直代曲,Newton法 以切线近似代替曲线,1、方法概述,迭代法在求方程的根时，迭代函数的构造将会影响到迭 代序列的敛散性及收敛速度的快慢，如何构造一个好的迭代 函数显得尤为重要；构造迭代函数的常用方法之一是用一个 近似方程来替代原方程，如：用线性方程代替非线性方程； Newton法正是基于这一点，将非线性方程线性化。,基本思想：,线性方程,例：,解：,特点：具有较快的收敛速度，但对初值要求较

2、高， 要求 充分接近 。,2、算法,3、几何解释 切线近似替代曲线,即是以切线与X轴的交点近 似替代曲线与X轴的交点， 因而又称切线法。 最著名、最有 效的方法之一,4、局部收敛性以及收敛速度,一般来说，Newton法产生的序列不总是收敛的，易知， 当 时，切线趋于水平，与X轴在很远处相交，这时 序列常为发散情形，往往需要对 附加一些条件才能保 证收敛；而实际上，当 充分接近 时，能保证Newton法 的收敛，亦即具有局部收敛性。,、单根的情形 结论1：,分析：,证明：,、重根的情形 结论2：,证明：,=,m,m,m,m,5*、求重根的修正Newton公式目的加速,缺点：虽然敛速增加，但计算时

3、每迭代一步需计算 三次函数值： ，计算量增大！,注：,证明：,例：,解：,敛速有极大改善,6、大范围收敛的充分条件,Th* ：,例：,证明：,注：该题亦可直接证得大范围收敛。,配方法,割线法 以割线近似代替曲线,1、方法概述,Newton法虽然具有较快的收敛速度（二阶），但每迭 代一次均需计算 及 ，若函数较复杂，计算导数 值可能工作量很大；为此考虑用差商：,来替代导数，这一思想实际上体现了以割线近似替代曲线。,称割线法或线性插值法,线性方程,多步法,2、割线法的几何意义,3、算法,注：step6中的数据传递次序不能颠倒！,4、割线法的收敛性与收敛速度,结论：局部收敛：,收敛阶数：,注：类似还

4、可以从三个初始点出发，以过三点的抛物线 近似替代曲线，得抛物线法。,超线性收敛,例：,解：,可见其收敛速度还是很快的,本章小结,1、根的概念：,m重根：,2、求根步骤：确定有根区间； 根的精确化；,3、二分法：,4、迭代法：, 大范围收敛： Th1：（压缩映象原理）,实用替换条件：,先估：,渐进误差估计：,后估：,Th2：, 局部收敛： Th3：,实用替换条件：, 收敛速度： Th4：, Aitken加速法,5、Newton法切线近似替代曲线, Newton迭代：, 收敛性：局部收敛；, 收敛速度：,、,、,求重根的修正Newton公式：,大范围收敛,6、割线法割线近似替代曲线,多步法：,局部收敛：,超线性收敛,例：,证明：,例：,证明：,例：,

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