区间型不确定多属性决策方法及应用

1、第2篇 区间型不确定多属性决策方法及应用,第4章 属性权重为实数且属性值为区间数的多属性决策方法及应用,随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、 不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强在实际决 决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将 介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念区间数 之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并 且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点 的多属性决策方法本章对上述方法均进行了实例分析,第1节 基于可能度的多属性决策方法,一、区间数比较的可能度公式,记,称 为,区间数，特别地，当,时， 退化为一个实数。,先给出区间数的运算法则。,设,和,

2、，且,，则,设,和,，且,，则,（1）,当且仅当,和,（2）,（3）,，其中,，特别地，若,，则,定义4.1 当,均为实数时，则称,当 时,当 时,当 时,（4.1）,为 的可能度。,定义4.2 当,至少有一个为区间数时，且记,（4.2）,为 的可能度。,则称,设,，则记 的次序关系为,例 设 ， ， 求 。,解,所以，,定义4.3 当,至少有一个为区间数时，且记,（4.3）,为 的可能度。,则称,例 设 ， ， 求 。,解,所以，,定义4.4 当,至少有一个为区间数时，且记,（4.4）,为 的可能度。,则称,例 设 ， ， 求 。,解,所以，,定义4.5 当,至少有一个为区间数时，且记,（4

3、.5）,为 的可能度。,则称,可以证明以上4个定义是等价的。,例 设 ， ， 求 。,解,所以，,根据上述3种定义，可以证明下列结论均成立。 定理4.1 设 ， ，则,（1）,（2）,当且仅当,（3）,当且仅当,（4）（互补性）,特别地，,（5）,当且仅当,特别地，,（6）（传递性）对于3 个区间数 若,当且仅当,且,则,定义1.8 设摸糊判断矩阵 ，若有 则称矩阵B是模糊互补判断矩阵,例,为模糊互补判断矩阵。,定理2.2 设模糊互补判断矩阵 对矩阵B,按行求和得,则可依据 的序关系对区间,进行排序。,例 比较下列5个区间大小,解：由可能度矩阵,对于矩阵P按行求和：,由,得到,第3节 决策方法

4、,步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确 知(即为实数)。对于方案 ，按属性 进行测度，得到 关于 的属性值 ( 这里 )从而构成 决策矩阵 最常见的属性类型为效益型和成 本型设 分别表示效益型、成本型的下标集为 了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公 式将决策矩阵 转化为规范化矩阵 ，其中,(4.9),(4.10),例43 某地区盛产生皮为了开发该地区的制革工业， 考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因 素(属性)，其中所考虑的属性有: 能源需求量 (100kwh/d)； 水的需求量(10万加仑天)； 废 水排放方式(十分制)； 工厂和设备成本(百万美元); 作业成

5、本(百万美元/年)； 有关地区的经济发展(十 分制); 研究开发机会(十分制)； 投资报酬(以1为 基数). 请标准化决策矩阵。,表4.5 决策矩阵,表4.5 决策矩阵,在上述属性中，能源需求量( )、水的需求量( )。工 厂和设备成本( )和作业成本为成本型外，其他均为效 益型,表4.5 决策矩阵,例如，对于属性7，标准化公式为,表4.5 决策矩阵,例如，对于属性7，标准化区间，如,表4.5 决策矩阵,例如，对于属性7，标准化公式为,将决策矩阵 转化为规范化决策矩阵 ，如表4.6所示,表4.6 规范化决策矩阵,步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范化决 策矩阵 ，如表4

6、.6所示,表4.6 规范化决策矩阵,或者,(4.11),(4.12),根据区间放的运算法则，把(4.11)和(4.12)两式写为,(4.13),(4.14),步骤2 利用WAA算子对各方案 的属性值 进行集结求得其综合属性值,(4.15),步骤3 利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方 案综合属性值 之间的可能度 并建立可能度矩阵,步骤4 利用公式,并按 大小对方案进行排序，即得最优 方案。,第4节 实例分析,例4.1 考虑一个大学的学院评估问题，选择教学 ， 科研 和服务 这3个属性作为评估指标设有5个学院 (方案) 将被评估，并假定属性的权重向 量为 决策者以区间数这种不确定形 式

7、给出了各方案的属性值，其规范化决策矩阵如表4.1所 示,表4.1 规范化决策矩阵,利用公式,可求出学院,的综合属性值分别为区间数,为了对各方案进行排序，先利用(4.2)式求出 ， 两两比较的可能度矩阵,对于矩阵P按行求和：,若用符号 表示方案之间具有可能度的优序关系， 则相应的5个学院 的排序为,从而学院 综合评估结果最好。,由,得到,42 基于投影的多属性决策方法,第1节 决策方法,首先构造加权规范化决策矩阵 ，其中,且,定义4.6 称,为区间型正理想点，,其中,(4.16),定义4.7 设,和,(4.17),是两个向量，定义,定义4.8 设,则称,为向量 的模。,众所周知，一个向量是由方向

8、和模两部分所组成， 而向量之间的夹角余弦值仅能街量它们的方向是否一 致，而不能反映其模的大小必须把模的大小与夹角余 弦值结合起来考虑才能全面反映向量之间的接近度为 此定义投影的概念。,定义4.9 设,和,是两个向量，定义,(4.18),为 在 上的投影，一般地， 值越大表示向量 与 之间越接近。令,(4.19),其中，,显然，,值越大，表明方案,越贴近区间型正,理想点 ， 因此，方案 越优。,依据上述定义，下面介绍一种基于投影的多属性决 策方法具体步骤下： 步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全 确知决策者对所有方案按各属性进行测度，得到决策 矩阵 。并按(4.9)和(4.10)两式将

9、 转化为规 范化矩阵 。 步骤2 利用属性权重向量 和规范化矩阵 ，构造 加权规范化决策矩阵 。,步骤3 利用（4.16）式确定区间型正理想点 。 步骤4 利用（4.19）式求出方案 在区间型正理想 点 上的投影 。 步骤5 根据 值对方案进行排序 或择优。,实例分析 例42 维修性设计是指在产品的研制过程中，要充 分考虑系统的总体结构、各部分的配置与连接，标准化和 模块化等因素，以便在产品发生故障时，用户能及时恢复。,现拟对某雷达接收机3个维修性设计方案 进行选样考虑的指标(属性)有： 寿命周期费用(万 元)； 平均寿命(小时)； 平均维修时间； -可用 度； 综合性能决策矩阵 如表42所示

10、已知属性 权重向量为,试确定最佳方案。,表4.2 决策矩阵,在各项指标中，除寿命周期费用( )和平均维修时 间( )为成本型外其他均为效益型。 步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范 化决策矩阵 ，如表4.3所示,表4.3 规范化决策矩阵,表4.3 规范化决策矩阵,步骤2 利用属性权重向量 以及规范化决策矩阵 构 造加权规范化决策矩阵 ，如表4.4所示,表4.4 加权规范化决策矩阵,步骤3 利用(4. 6) 式确定区间型正理想点,步骤4 利用(4.19)式求出方案 在区间型正理想点上的 投影,步骤5 根据 值对方案进行排序得,故最优方案为 。,4.3 逼近理想点的多属性决

11、策方法 4.3.1 决策方法 定义4.10 称 为区间型负理想点， 其中,（4.20),下面介绍一种迢近理想点的多属性决策方法具体步 骤如下： 步骤1 对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确 定 分别为决策炬阵及其规范化矩阵 步骤2 利用属性权重向量 和规范化矩阵 ，构造 加权规范化决策矩阵 . 步骤3 利用(4.16)和(4.20)两式确定区间型正、负理想 点 、,步骤4 计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离：,(4.21),(4.22),步骤5 计算每个方案对理坦点的贴近度,(4.23),步骤6 按 值的大小对方案进行排序， 值 越大，则方案 越优。,4.3.2 实例分析 例43

12、某地区盛产生皮为了开发该地区的制革工 业，考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因 素(属性)，其中所考虑的属性有: 能源需求量 (100kwh/d)； 水的需求量(10万加仑天)； 废 水排放方式(十分制)； 工厂和设备成本(百万美元); 作业成本(百万美元/年)； 有关地区的经济发展(十 分制); 研究开发机会(十分制)； 投资报酬(以1为 基数).已知属性权重向量为,有关部门提出了5个备选方案，各方案在上述属性下的属 性值如表4.5所示。试确定最佳方案。,表4.5 决策矩阵,表4.5 决策矩阵,在上述属性中，能源需求量( )、水的需求量( )。工 厂和设备成本( )和作业成本为成本

13、型外，其他均为效 益型,步骤1 由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵 转化为规范化决 策矩阵 ，如表4.6所示,表4.6 规范化决策矩阵,表4.6 规范化决策矩阵,步骤2 利用属性权重向量 以及规范化决策矩阵 构 造加权规范化决策矩阵 ，如表4.7所示,表4.7 规范化决策矩阵,表4.7 规范化决策矩阵,步骤3 利用(4.16)菏(4.20) 式确定区间型正、负理想点,步骤4 计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离,步骤5 计箅每个方案对理想点的贴近度,步骤6 按 值的大小对方案进行排序得：,因此最佳方案为 。,第5章 属性权重完全未知且属性值为区间数的多属性决策方法及应用 5.1 对

14、方案无偏好的多属性决策方法 5.1.1 公式和定义 对于某一多属性决策问题，其属性的权重向量 为 ，并满足单位化约束条件：,(5.1),且设决策矩阵为 ，这里 。 其相应的规范化矩阵为 。,为了能衡量两个区间数相似的程度相离度的概念 定义5.1 设区间数 ， ，如果 范数,称 为区间数 和 的相离度。,显然 越大，则 和 相离的程度越大特别地， 当 时，有 ，即 和 相等。,5.1.2 决策方法 对于某一多属陆决策问题一般需要求出各方案的综 合属性值由规范化矩阵 及属性权重向量， 利用WAA算子得到方案 的综合属性值 (由(4.15)式获得)。,当属性权重 及属性值都是确定的值时。 由各方案综

15、合属性值的大小可以确定万案的优劣；否则, 就不能直接由(4.15)式确定综合属性值。 下面将考虑属性权虽完全未知、属性值为区间数且 决策者对方案无偏好的情形。,5.3 UOWA算子,设 表示全体区间数的集合。 定义224 设 ，若,其中 是与UOWA相关联的权重向 量，满足,且 是一组数据组 中第 大的元素。,则称函数 是不确定 算子，（简记 算子）。 可以利用第1章中确定OWA算子加权向量的方法 或用下面的表达式来确定加权向量 ， 其中,(5.13),这里， 为模糊语义量化算子,(5.14),其中 。对应于模糊语义量化准则79，“大多 数”，“至少半数”，“尽可能多”的算子 中的参数对分别为

16、,例5.3 给定一组区间数,利用(4.2)式对这4个区间数进行两两比较，并建立可能度 矩阵,根据(4.6）式,(4.6),得到可能度矩阵P的排序向量,利用 对区间数 ，按降序 进行排列，可得,若假定UOWA算子的加权向量为 则利用UOWA箅子对这4个区间数进行集结，可得,5.4 基于UOWA算子的多属性决策方法 5.4.1 在决策者对方案无偏好情形下的多属性决策方法 下面介绍一种在决策者对方案无偏好情形下的多 属性决策方法具体步骤如下226： 步骤1 对于某一多属性决策问题决策矩阵及其 相应的规范化矩阵分别为,其中，,其中，,步骤2 利用(4.2)式对方案 的各属性值 进行两两比较并建立可能度矩阵 ，利用 (4.6)式求得可能厦矩阵 的排序向量 。并按其分量大小对方案 的各属性值按从大 到小的次序进行排序，得到,表1.19 列出了3种互补标度，它们部是模糊互补判断 矩阵,表1.19 3 种互补标度,