数学人教版九年级上册拓展二　二次函数与三角形面积问题.ppt

1、拓展二 二次函数与三角形面积问题,例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C. （1)求抛物线的解析式；,例2题图,【思维教练】要求抛物线的解析式， 需知过抛物线的三点A、B、C的坐标， 利用直线y=x+3求得A、C两点的坐标， 结合已知的AB=4，求得B点坐标，代入求解即可；,典例精讲,解：对于y=x+3，当x=0时，y=3； 当y=0时，x=-3， A（-3，0），C（0，3）， AB=4，B（1，0）， 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）， B（1，0），

2、C（0，3）， ，解得 ， 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;,9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3,a=-1 b=-2 c=3,例2题图,【思维教练】要求ABC的面积，需知ABC的一条边的长度和这条边上高的长度，由于ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；,（2）求ABC的面积；,解：点C坐标为(0，3)， OC=3， SABC = ABOC= 43=6;,例2题图,【思维教练】QAE与CBE的底边 AE=BE，要使两三角形面积相等，故 只要高相等，CBE底边BE的高为3， 点Q的纵坐标为3和-3时，满足条件， 分别代入抛物线解析式即可

3、求解；,（3）点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q,使得QAE的面积与CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；,例2题图,例2题解图,Q1,（Q2）,P,Q4,（Q3）,解：Q点的坐标为（-2，3）或（0，3） 或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）； 【解法提示】如解图，依题意，AE=BE， 当QAE的边AE上的高为3时，QAE 的面积与CBE的面积相等. 当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0， 点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）. 当y=-3时，-x2-2x+3=-3，解得x=-1 ， 点Q的坐标为（-1+ ，-3）或 （-1

4、- ，-3）. 综上所述，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）或 （-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.,【思维教练】要求四边形AOCD和ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCD= SAOD +SCOD计算.由于ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCD -SAOC计算；,（4）在（3)的条件下，连接AD,CD，求四边形AOCD和ACD的面积； 例2题图,易知点D的坐标为（-1，4）， S四边形AOCD =SAOD +SCOD= 34+ 31= ， SACD =S四边形AOCD -SAOC= - 33=3；,例2题解图,解：如解图，连接OD，,（5）在

5、直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由； 例2题图,【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出SMAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进

6、而求得M点坐标；,设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，- 0， 当x=- 时，SMAC的值最大为 ， 当x=- 时，y=-(- )2-2(- )+3= ， 点M的坐标为（- ， ）；,例2题解图,解：存在点M，使得MAC的面积最大. 如解图，过点M作MNy轴，交AC于点N，,N,M,【思维教练】要确定H点的位置，根据HGA被分成面积为12的两部分，HAI和AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为12或21两种情况，列方程即可求解；,（

7、6）点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为12的两部分；,例2题图,解：如解图，由（5）可知，可分两种情况讨论： 若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3) （-3x0）， 整理得x2+5x+6=0， 解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去）， H（-2，3）； 若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3 （-3x0），整理得2x2+7x+3=0， 解得 x1= - ，x2=-3（不合题意，舍去）， H（- ， ）. 综上所述，有两种情况：H（-2，3）或H（- ， ）；,例2题解图,H1,G2,G1,O,H2,I1,I2,（7）在抛

8、物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使SRBC = ，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由.,【思维教练】先假设存在点R，使得 SRBC = .过点R作BC的垂线交BC 的延长线于点K，可得 BCRK= ， 此时点R，K坐标不易计算，可考虑作 RHy轴与BC的延长线交于点F，利 用RKF与BOC相似，RFBOBCRK9，设出R点坐标利用此关系式列方程即可求解.,例2题图,例2题解图,解：存在点R，使得SRBC ，且位于对称轴的左侧.如解图，过点R作RKBC，交BC的延长线于点K，作RHy轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，,则F=BCO，RKF=BOC=90， RKFBOC， ， RFBO=BCRK， 又SRBC = ，BO=1， BCRK= BORF= ， RF=9.,F,R,K,H,由B（1，0），C（0，