固体物理第二章第四节倒格子

1、第四节 倒格子,本节主要内容:,一、 概念的引入,三、 倒格矢与晶面,二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子,四、 倒格子的点群对称性,2.4 倒格子,一、概念的引入,晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.,然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.,波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？,布拉维格子具有平移

2、对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。,不失一般性，上述函数可统一写为：,布拉维格矢,由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：,1. 周期函数的傅里叶展开,展开系数,因为：,所以：,令,则：,则,不合要求，应舍去,所以,由于 与 存在上述对应关系, 可以描述布拉维格子,自然 也可以描述同样的布拉维格子,且 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢 和布拉维格矢满足 的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.,成立,也就是

3、说,一定存在某些 使得当 成立时,2. 定义,对布拉维格子中所有格矢 ，满足 或 (m为整数)的全部 端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocal lattice),与倒格子的定义对应，由格矢 的端点所描述的布拉维格子，称为正格子(direct lattice),由 端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子(reciprocal lattice),称为倒格矢,利用倒格矢，满足 的傅里叶展开为:,意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。,二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子,欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要

4、求：,h1,h2,h3为整数,对布拉维格子中所有格矢 ，满足 或 (m为整数)的全部 端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocal lattice).,称为倒格矢,当 满足时，则下式自然成立：,或：,由于 为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space),则由于 不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。,和 对比,表明 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。,从而 且 也可作为以 为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。,讨论：,所以可令：,1.,其中 是正格基矢,是固体物理学原胞体积,同理可得,所以倒

5、格子基矢与正格子基矢的关系为：,与 所联系的各点的列阵即为倒格子。,许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义,a. 晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等，它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约布里渊区中(单值性的要求),2.,与正格子空间的平面波 类似，可以把 看成倒空间的平面波， 是倒空间的任一矢量,所以，在倒空间中，矢量 与 代表相同的波或相同的状态。,注：,b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区,3.,由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。,三、倒格矢与晶

6、面(倒格子与正格子的几何关系),1.,体积关系,(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积),除 因子外，正格子原胞体积 和倒格子原胞体积 互为倒数,利用,2.,倒格矢与晶面,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：,其中 是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距,首先我们证明,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面,ABC在基矢 上的截距分别为 。,由图可知：,所以倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,接着我们再证明倒格矢长度为,由于倒格矢 与晶面族(h1h2h3)正交.,因而，晶面族(h1h2h3)的法线方

7、向为,则法线方向的单位矢量为：,因而，面间距,这个关系很重要,后面分析XRD时要用,3.,倒格子基矢的方向和长度,一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。,设：,利用体积=底面积*高，则有：,晶体结构,2.与晶体中原子位置相对应；,2.与晶体中一族晶面相对应；,3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为长度,4.线度量纲为长度-1,已知晶体结构如何求其倒格子呢？,晶体结构,正格子,正格子基矢,倒格子基矢,倒格子,例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排

8、列。,倒格子是边长为的正方形格子。,例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。,倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。,与p25fcc比较可知,例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为,证明：,简立方：,法一：,法二：,设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，,ABC在基矢 上的截距分别为,则,对于立方晶系：,且：,根据任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：,四、 倒格子的点群对称性,1.,同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性,证明：,设 为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即 为正格矢时， 亦为正格矢 (点群对称操作不会改变原有格点之间的距离) 。,按照群的定义,当 为点群对称操作时, 亦为同一点群的对称操作，则 亦为正格矢。,由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：,当 和 接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变。,所以，对点群中任一 而言， 亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一