2.3.4_平面与平面垂直的性质2.ppt

1、23.4平面与平面垂直的性质,要点一平面与平面垂直的性质的应用 在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件,例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.,(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD； (2)求证：ADPB. 【分析】ABCD是边长为a的菱形； 面PAD面ABCD. 解答本题可先由面面得线面，再进一步得出线线,【

2、证明】(1)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD. 又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD，PGBG. 又四边形ABCD是菱形且DAB60， ABD是正三角形，BGAD. 又ADPGG，BG平面PAD.,(2)由(1)可知BGAD，PGAD. 所以AD平面PBG，所以ADPB. 【规律方法】证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理,变式1如图所示，CD，CDAB，CE、EF，FEC90，求证：面EFD面DCE.,证明：，CD，CDAB，AB，CD. 又EF，CDEF. 又FEC9

3、0，EFEC. 又ECCDC，EF面DCE. 又EF面EFD，面EFD面DCE.,例2 已知：如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足 (1)求证：PA平面ABC； (2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形,【分析】由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理,【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F， 平面PAC平面ABC，且交线为AC， DF平面PAC. 又PA平面PAC，DFPA. 作DGAB于G，同理可证DGPA. DGDFD，PA平面ABC.,(2)连接BE并延长交PC于H. E是PBC的垂心，P

4、CBH，又AE平面PBC， 故AEPC，且AEBEE， PC平面ABE.PCAB. 又PA平面ABC，PAAB，且PAPCP， AB平面PAC， ABAC，即ABC是直角三角形,【规律方法】已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论,变式2如图，已知平面平面，平面平面，a，b，且ab.求证：.,证明：如图，在平面内作直线PQa，在平面内作直线MNb，垂足分别为Q、N.,，a，PQ.

5、同理MN.PQMN. PQ，MN， PQ. 同理a.PQ，a，PQaQ， .,要点二线线、线面、面面垂直的综合应用 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：,例3 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：,(1)EN平面PDC； (2)BC平面PEB； (3)平面PBC平面ADMN. 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明，证ENDM. (2)先

6、证AD平面PEB，再由ADBC证明 (3)转化为证明PB平面ADMN.,【证明】(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC， AD平面PBC. 又平面ADMN平面PBCMN，ADMN. 又BCAD，MNBC. 又N是PB的中点，点M为PC的中点,(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60， BEAD. 又侧面PAD是正三角形，且E为中点， PEAD， AD平面PBE.又ADBC， BC平面PEB.,(3)由(2)知AD平面PBE. 又PB平面PBE，ADPB. 又PAAB，N为PB的中点，ANPB. 且ANADA，PB平面ADMN. 又PB平面PBC.平面PBC平面ADMN.,【规

7、律方法】运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直,变式3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，,(1)求证：ADPB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论,证明：(1)设G为AD的中点，连接PG， PAD为正三角形，PGAD. 在菱形ABCD中，DAB60， G为AD的中点，BGAD. 又BGPGG，AD平面PGB. PB平面PGB，ADPB.,(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD. 取PC的中点F，连接DE、EF、DF，