二项式定理的知识点

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能利用计数原理证明二项式定理2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.一般不考查用计数原理证明二项式定理2.求二项展开式中某项的系数和特定项是高考的热点，考查形式为选择题和填空题，难度不大，属中低档题，如2012年广东T10，福建T11等.归纳知识整合1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r0,1，n)二项式通项Tr1Canrbr，它表示第r1项探究1.二项式(xy)n的展开式的第k1项与(yx)n的展开式的第k1项一样吗？提示：尽管(xy)n与(yx)n的值相等，但它们

2、的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换2二项式系数的性质探究2.二项式(xy)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定自测牛刀小试1(xy)n的二项展开式中，第r项的系数是()ACBCCC D(1)r1C解析：选D本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(1)r1C.2(2012四川高考)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35C28 D21解析：选D依题意可知，二项式(1x)7的展开式中x2的系数等于C1521.3已知8展开

3、式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38C1或38 D1或28解析：选C由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.4若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由题意得即解得x.答案：x5若C3C32C3n2C3n185，则n的值为_解析：由已知等式，可得C3C32C3nC256.即(13)n256，解得n4.答案：4求二项展开式中特定项或特定项系数例1(1)(2012上海高考)在6的二项展开式中，常数项等于_(2)(2012广东高考)6的展开式中x3的系数为_(用数字作答)

4、(3)(2012福建高考)(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a_.自主解答(1)由通项公式得Tr1Cx6rr(2)rCx62r，令62r0，解得r3，所以是第4项为常数项，T4(2)3C160.(2)由6的展开式的通项为Tr1C(x2)6rrCx123r，令123r3，得r3，所以展开式中x3的系数为C20.(3)(ax)4的展开式的第r1项为Tr1Ca4rxr，令r3，得含x3的系数为Ca，故Ca8，解得a2.答案(1)160(2)20(3)2求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非

5、负整数，且rn)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项1(2012泰安模拟)若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6B10C12 D15解析：选CTr1C()nrr(2)rCx，当r4时，0，又nN*，所以n12.2(1xx2)6的展开式中的常数项为_解析：6的展开式的通项为Tr1C(1)rx62r，当r3时，T4C20，当r4时，T5Cx215x2，因此常数项为20155.答案：5二项式系数和或各项的系数和例2设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)

6、2(a1a3a99)2.自主解答(1)(2x)100展开式中的常数项为C2100，即a02100，或令x0，则展开式可化为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100，可得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)100(2)1001.赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax

7、2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可3若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，则的值为()A2B0C1 D2解析：选C令x0得a01，令x，得a00，所以a01.4若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5等于_解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x3)42a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令x1得a12a23a34a45a55(213)4210.答案：10二项展开式系数最大项的问题例

8、3求二项式8的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项自主解答(1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T41C()44.(2)先求系数绝对值最大的项，设第r1项的系数的绝对值最大，则即解得5r6，即第6项和第7项的系数绝对值最大由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以第7项是系数最大的项，这一项为T61C()261 792x11；第6项是系数最小的项，这一项为T51C()351 792x.运用二项式定理时的两个注意点在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：(1)二项式系数只与二项式的指

9、数和项数有关，与二项式无关；(2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关5如果n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是()A0B256C64 D.解析：选D法一：由已知得即5n0，.令f(r)f(r1)，则1，则rk(等号不成立)当r1,2，k时，f(r)f(r1)成立反之，当rk1，k2，2k时，f(r)f(r1)成立f(k)C最大，即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大1若n的展开式中的第5项为常数，则n()A8 B10C12 D15解析：选CT41C()n44C24x为常数，0，n12.2若(xy)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且xy1，xy1，即x的取值范围是(1，)39192除以100的余数是_解析：9192(901)92C9092C9091C902C90CM10292901(M为整数)100M8210081.9192除以100的余数是81.答案：814设f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数是19(m，nN*)(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时