双曲线的知识点

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如2012年大纲全国T8，新课标全国T8等2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.归纳知识整合1双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两

2、定点的距离探究1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a|F1F2|，则轨迹不存在2双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做

3、双曲线的虚半轴长.探究2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大3等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，离心率e，渐近线方程为yx.自测牛刀小试1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析：选C由题意知，a2，故长轴长为2a4.2双曲线方程：1，那么k的范围是()Ak5 B2k5C2k2 D2k5解析：选D由题意知，(|k|2)(5k)0，解得2k5.3若双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为()Ayx1 By3xCy3x1 Dyx解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为yx

4、 xx，故渐近线方程为yx.4设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5 B6C7 D9解析：选C由渐近线方程3x2y0，知.又b29，所以a2，从而|PF2|7.5已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为_解析：由已知可得c4，a2，所以b212，故双曲线的方程为1.答案：1双曲线的定义、标准方程例1(1)(2012大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A.B.C. D.(2)已知双曲线1(a

5、0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1自主解答(1)由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，cosF1PF2.(2)抛物线y224x的准线方程为x6，则在双曲线中有a2b2(6)236.又双曲线1的一条渐近线为方程yx，.联立解得所以双曲线的方程为1.答案(1)C(2)B双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支1已知

6、ABP的顶点A，B分别为双曲线1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A. B.C. D.解析：选A在ABP中，由正弦定理知.2设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时， 12的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2|y0|2，|y0|1.又P在曲线上，y1，即x3(y1)6.12(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.双曲线的几何性质及应用例2(1)(2012福建高考)已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.B.C. D.(2)(2012新课

7、标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点|AB|4，则C的实轴长为()A. B2C4 D8自主解答(1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c3，b25，则a2c2b2954，所以a2.所以e.(2)由题意可设双曲线的方程为1(a0)易知抛物线y216x的准线方程为x4，联立得16y2a2.(*)因为|AB|4，所以y2.代入(*)式，得16(2)2a2，解得a2(a0)所以双曲线C的实轴长为2a4.答案：(1)C(2)C研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；(2)由于e是一个比值，故只

8、需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形即可求e，并注意e1.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为()A2 BC D解析：选Ce21，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k.直线与双曲线的综合例3已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(2,0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程自主解答(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，则有e2，c2，所以a1，则b.所以所求的双曲线方程为x21.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0)，所以l的斜率

9、一定存在，设为k，则l：yk(x2)，令x0，得M(0,2k)，因为|2|且M，Q，F共线于l，所以2或2.当2时，xQ，yQk，所以Q的坐标为.因为Q在双曲线x21上，所以1，解得k.所以直线l的方程为y(x2)当2时，同理求得Q(4，2k)代入双曲线方程得，161，解得k.所以直线l的方程为y(x2)综上：所求的直线l的方程为y(x2)或y(x2)求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线

10、与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|.4P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1，由题意又有，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，则x5y5b2，即(x1

11、x2)25(y1y2)25b2，化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式得x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.将代入化简得240，解得0或4.1个规律等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)2种方法求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a，b，c即可求得方程(2)待定系数法待定系数法求双曲线方程的常用方法3个关注点双曲线几何性质的关注点双

12、曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形3个防范双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是yx，1(a0，b0)的渐近线方程是yx. 易误警示双曲线几何性质的解题误区典例(2012湖南高考)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在

13、C的渐近线上，则C的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析由已知可得双曲线的焦距2c10，a2b25225，排除C，D，又由渐近线方程为yxx，得，解得a220，b25.答案A1因对双曲线的几何性质不清，误以为c10，错选C；2因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成，从而错选B.3解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a，b，c之间的关系式c2a2b2与椭圆中a，b，c之间的关系式a2c2b2的混淆，从而出现解题错误等已知点(2,3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_解析：法一：点(2,3)在双曲线C：1上，则1，又由于2c4，所以a2b24.解方

14、程组得a1或a4.由于a5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当k5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k5或k2.e .4(2012浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2C. D.解析：选B设焦点为F(c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2.5已知双曲线1(b0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上则12()A12 B2

15、C0 D4解析：选C由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是x2y22，于是两焦点坐标分别是(2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，1)不妨取P(，1)，则1(2，1)，2(2，1)12(2，1)(2，1)(2)(2)10.6(2012皖南八校联考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是()A. B.C2 D2解析：选A依题意，应有，又 ，即，解得e.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析：由题意得m0，a，b，所以c.由

16、e得5，解得m2.答案：28P为双曲线x21右支上一点，M，N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：59(2012辽宁高考)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF

17、2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10双曲线C与椭圆1有相同焦点，且经过点(，4)(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2120，求F1PF2的面积解：(1)椭圆的焦点为F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的方程为1(a0，b0)，则a2b2329.又双曲线经过点(，4)，所以1，解得a24，b25或a236，b227

18、(舍去)，所以所求双曲线C的方程为1.(2)由双曲线C的方程，知a2，b，c3.设|PF1|m，|PF2|n，则|mn|2a4，平方得m22mnn216.在F1PF2中，由余弦定理得(2c)2m2n22mncos 120m2n2mn36.由得mn.所以F1PF2的面积为Smnsin 120.11设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0.，解得b23，双曲线的方程为1

19、.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.t4，点D的坐标为(4，3)12设双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.双曲线方程为y21，渐近线方程为yx.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|2c10. 10.又y1x1，y2x2,2xx1x2