九年级数学上册 公理及其推论教案 北师大版

1、公理及其推论年 级初三学 科数学版 本北师大版内容标题你能证明它们吗？1、2编稿老师孙月【本讲教育信息】一. 教学内容：年 级初三学 科数学版 本北师大版内容标题你能证明它们吗？1、2编稿老师孙月【本讲教育信息】一. 教学内容：你能证明它们吗？1、有关等腰三角形的性质2、有关等腰三角形的判定二. 教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。3、结合实例体会反证法的含义。4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。三.

2、重点、难点：重点：1、证明的基本步骤。 2、掌握等腰三角形的性质和判定。 3、理解和掌握反证法。难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。四. 课堂教学1、公理及其推论公理：三边对应相等的两个三角形全等。（）公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（）公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（）公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。推论：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。（）2、等腰三角形的性质定理及其推论定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角） 已知：如图，在中，。证：。 证明：取BC中点D，连接AD 。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、

3、底边上的高互相重合。（简称：三线合一） 符号语言：（1）AB=AC，BAD=CAD ADBC，BD=DC （2）AB=AC，ADBC BD=DC，BAD=CAD （3）AB=AC，BD=DC ADBC，BAD=CAD例1. 等腰三角形两腰上的中线相等 已知：如图，在中，BD、CE是的中线。 求证：BD=CE。 证明：BD、CE是的中线 又 在和中 ， 推广：如果，那么吗？呢？你能总结出一个一般结论吗？想一想：等腰三角形两底角的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？3、等腰三角形的判定定理定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）符号语言：在中，B=C AB=AC4、反证法

4、思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？解决问题： 如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。“”与已知“”相矛盾，因此。概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。例2. 、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或

5、等于。【典型例题】例1. 如图所示，AB=DB，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是 答案：，又AB=DB利用“”公理，需添加：BC=BE， 利用“”公理，需添加：利用“”公理，需添加： 因此可填：BC=BE，或中的任一个。例2. 如图，在中，AD是角平分线，求证：AC=AB+BD。 证明：在AC上截取AE=AB，连ED AE=AB，AD=AD ED=BD， 是的一个外角 又 即AC=AB+BD【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 如图所示，AD=AB，ABBC于B，BEAC于E，则有（ ） A. 1=EFDB. FDBCC. BF=FD=CDD. BE=EC2. 如图所示

6、，点E在ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（ ） A. ABDAFDB. AFEADC C. AFEDFCD. ABCADE3. 等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对4. 如图所示，BC=DB，AC=AE，则（ ） A. B. C. D. 5. 在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）A. B. C. D. 以上都不对二、填空题：1. 如图，已知ABC中，若，BE是的平分线，A

7、C=14，则 ，AD= 。 2. 如图，已知ABC中，若，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：（1）：AE=CF （2）：EPF是等腰直角三角形（3）： （4）： EF=AP当在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 3. 如图所示，在ABC中，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是 4. 如图所示，在ABC中，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 。5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为 。三、证明：1. 已知如图，AB=AD，求证：CB=CD2.

8、如图，已知在ABC中，AD平分，求：的值。3. 如图所示，在ABC中，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD4. 如图，MB=2MA，MC=BC，求证：5. （1）如图所示，P是等腰ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于R，观察AR与AQ，它们有什么关系？证明你的猜想。（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，第（1）题中的结论还成立吗？请在图中完成图形，并给出证明。？1、有关等腰三角形的性质2、有关等腰三角形的判定二. 教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质

9、和判定的定理。2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。3、结合实例体会反证法的含义。4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。三. 重点、难点：重点：1、证明的基本步骤。 2、掌握等腰三角形的性质和判定。 3、理解和掌握反证法。难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。四. 课堂教学1、公理及其推论公理：三边对应相等的两个三角形全等。（）公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（）公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（）公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。推论：两角及其

10、一角的对边对应相等的两个三角形全等。（）2、等腰三角形的性质定理及其推论定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角） 已知：如图，在中，。证：。 证明：取BC中点D，连接AD 。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一） 符号语言：（1）AB=AC，BAD=CAD ADBC，BD=DC （2）AB=AC，ADBC BD=DC，BAD=CAD （3）AB=AC，BD=DC ADBC，BAD=CAD例1. 等腰三角形两腰上的中线相等 已知：如图，在中，BD、CE是的中线。 求证：BD=CE。 证明：BD、CE是的中线 又 在和中 ， 推广：如果，那么

11、吗？呢？你能总结出一个一般结论吗？想一想：等腰三角形两底角的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？3、等腰三角形的判定定理定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）符号语言：在中，B=C AB=AC4、反证法思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？解决问题： 如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。“”与已知“”相矛盾，因此。概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证

12、明方法称为反证法。例2. 、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或等于。【典型例题】例1. 如图所示，AB=DB，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是 答案：，又AB=DB利用“”公理，需添加：BC=BE， 利用“”公理，需添加：利用“”公理，需添加： 因此可填：BC=BE，或中的任一个。例2. 如图，在中，AD是角平分线，求证：AC=AB+BD。 证明：在AC上截取AE=AB，连ED AE=AB，AD=AD ED=BD， 是的

13、一个外角 又 即AC=AB+BD【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 如图所示，AD=AB，ABBC于B，BEAC于E，则有（ ） A. 1=EFDB. FDBCC. BF=FD=CDD. BE=EC2. 如图所示，点E在ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（ ） A. ABDAFDB. AFEADC C. AFEDFCD. ABCADE3. 等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对4. 如图所示，BC=DB，AC=AE，则（ ） A. B. C. D. 5. 在课外航模小组的活动中，小同同

14、学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）A. B. C. D. 以上都不对二、填空题：1. 如图，已知ABC中，若，BE是的平分线，AC=14，则 ，AD= 。 2. 如图，已知ABC中，若，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：（1）：AE=CF （2）：EPF是等腰直角三角形（3）： （4）： EF=AP当在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有 3. 如图所示，在ABC中，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是 4. 如图所示，在ABC中，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 。5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为 。三、证明：1. 已知如图，AB=AD，求证：CB=CD2. 如图，已知在ABC