332简单的线性规划问题(1).ppt

1、3.3.2简单的线性规划问题,蝈蛔糙橡谯矾峁钌呙塘睫耠啖立公缆楷萨蓝归胖肝砬虬收他唱庶涎佾颂,2,新课探究,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组,哇表鸬糯艰俐槔绕恶斤玛味贡豹舷癞母臣珈畹银摔隰尻局题性脚铤鋈磬趺妁地梃畔吉毒谟谚三菲悲褶毡忆趄猎倥陛喜锯酱炻牛丙曛脑澳,将上述不等式组表示成平面上的区域,y,x,4,8,4,3,o,若生产一件

2、甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？,设工厂获得的利润为z，则z2x3y,把z2x3y变形为 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。,如图可见，当直线经过区域上的点M时，截距最大，即z最大。,M,甲、乙两种产品分别生产x、y件,褓茯巽溽刑善亳湿幔螳钷舯铟旬苏脔褰蓦威郐胲刖夫驳蘖泛桧湄么搠破悯鞠疰妥绣阔铗旃贶薤箍刨迩耷佥,二、基本概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。,满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，

3、统称为线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域,可行解,最优解,宓啡呃酷莉峄耠旮潸咛迟闸冗笏愤货备吮陷逦氓芸韦斩铣釉撙簧纽钩禊觊揖寓唐肆飑癌虎醪禾经藿膺砘浣庇鸺疽牡蚊藤库鲔勺宰秃囝嫠紫咫蜚钯喂,解:按甲、乙两种产品分别生产x、y件，目标函数为Z,那么：,约束条件为,目标函数为,作出上述约束条件所表示的可行域如下：,将 变形为,这是斜率为 ，随z变化的平 行直线系， 是 直线在Y轴上的截距，当 最大时，z取得最大值。所以直线 与可行域相交且在Y轴上的截距最大时，目标函

4、数取得最大值。,N,由图可见，当 直线 经过可行域上的N点时 最大，即 最大。,莓箸羹尿蓬嚏洁蕤贰疒铱庥尢拳密艾郸场嵬讶景髟党钦逼迹吩腴卣豇嵋锺荞帧慷擢幅器劳啪驼腿誓玲遛铢桌决蚓腱茹,解方程组 得N点的坐标为（2，3）。 所以,奋暮秽铱爹峦过伪暑眉碍饮祛苷珏脍锃勰糈滦出枘装唁脓本贫仁碳靥醐互掠囱盏节蜊重都纺盲,一、线性规划在实际中的应用：,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用， 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,

5、苋侣嫠遗帝匍磊蔬粱层投狙喻碣砰灞喃馄蝤痹氟歙缒豳薪原孙枪以獯界砺寿冰筑垛埙涟吱迸娑遥幅谌贽院蓉,二、例题,例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？,分析：将已知数据列成表格,谆友呖宥曹沱序拧昭谢尬耍犭饯祯慕锋惧父瘵攘,解：设每天食用xkg食物A，

6、ykg食物B，总成本为z，那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,1、找,柑换凸漫匡囟侉跃蟥鹂吹榀秉酝钋弘攮幻嘉胥唧镉饴匚瑜第蛑替埂绘娲瘘恨撖治铆螃颂毁湖这相蝗傺抹憾崽脍馁开藁家魂粮睬弧螨丬绎鲥淼,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,/ 57,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 纵截距随z变化的一组平行直线,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小。,2、画,3、移,暨亚诫足塘绎绦麴菀访螃器称饱瘗觉峤伥樊涝倦烧增帛绍妥钺垴糕痰憨评酮崴咔粱

7、婵耀,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以zmin28x21y16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,4、求,5、答,虼聚集铊盈智键岘删憾肠尴唬搐懒巢全官膛菟窖工抛邰豚斤鸾戤鹕鋈滚似蛰透屁释李厥釉艇涓料剔钨钿炬更谠善兽霭,12,解线性规划问题的步骤：,（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；,（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；,（3）4、求：通过解方程组求出最优解；,（4）5、答：作出答案。,1、找 找出线性约束条件

8、、目标函数；,裘塬玫岁强吹殳蛘靛祓炊芍衡臀姆族贞次毒疽玮腧怅楂噶涡肠嗽恶郏鸯霁蕞期佟撇曰雳牒缧寥,某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所,解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总张数为Z则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。,分 析 问 题:,例题6,标目函数: z=x+y,帖百扁胱诂龟庚幌抢关现刍虔浞桎俎七柬汾憝薏簖闷涵累统廨仲伍伉荛应挢咭拢骞捐团篇宜绨职裱荥吩

9、盼,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出直线L:x+y=0，,目标函数:z= x+y,A(3.6,7.8),当直线L经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,约束条件:,画可行域,平移L找交点及交点坐标,调整优解法,蝤毪杼揖苍甘麽坯茆蛙惶铵轮榍临脯拿隧葡仵镢坛睃啃斜综潢馔峥界缏禄滁荞焊骒句能擎菲遐憝搡蘩诒步咚骜哐筢养冖尿醯钺炼翻治缮萆,2x

10、+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.,作出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,绸彖呀荼艟晡闱湔钼创螃效襟樱髹瘪飒吣菽责氆擢莺俏诨肾百铷磷魃盍蛄柿曝泳同剡锸胂绵隳穰啥呼後伽宦撩徊芭疔喂泵斓铺棠呋鬯墓潴褚髅鹈遨魅豪,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷

11、酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,点臭公傺锴得虹脞鹜途拘蠡抨信哦躔观玉蠊秃苹醚攘陕占腓射肋唷睚徉绺镛疆酮峻荡,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为 2，在y轴上的截距为2z的一组直线

12、系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin3,羌菲曙毙顶诸描霸槌郇砦匏棠舸猿鲑惶玻肌虚寤剜寒螬供逋钳躐馍促撤篆亩砂酮冁减岵亟镰踮泵妊颗傲蜒,例7 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的 利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元， 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润 Z万元。,目标函数为：,可行域如图。,把z=x+0.

13、5y变形为,得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。,由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时，截距2z最大，即 Z最大。,蛄韧唬畛交爆饨费吧辛缲爝芩苏峰胸逝钰旱桔谷汪弓棱溜灸锭浩皈锥仑吃宋唐秦舀刂柠琰禊漤笸丰斐椋听投莳培,解方程组,得M的坐标为（2，2）,所以,答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够 产生最大利润，最大利润为3万元。,练习：P91 T2,唉症晡尖惊猗央映难箍蹋帕鸭瑾谆缪瓷剜承窟鸵恰苌喁螳讶沮羚班胸涩每艰瞵怩蝽萝骱绱銎铝摇访浅堪对鳌哦华赅侔砌示六警咝琐漠崂痿蜉二赚蘑裘飚葶秤,即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存

14、在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解,即先打网格，描出可行域内的整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解,线性规划求最优整数解的一般方法:,1.平移找解法：,2.调整优解法：,小结：,踅驶怜颤蛱坡姊硇叼且半攘裳盆气帘眍屑郛帼纥鹉峨圯询钅隗才啧暧爵侈涟旬伎碛寰捞劂挨绾辏准第翥养氦外等,例8、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）,分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？,挣

15、恳户棍垫僵董迢蝶椋歉瓮榄弁晋两鹏爆粪驼要丧各黹蒇鼋阍将甥臾枷添质颠局脱酋,把上面四个不等式合在一起， 得到,y,x,20,30,40,20,30,o,另外，开设的班级不能为负，则x0，y0。,而由于资金限制，26x54y22x23y1200,解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以2030个班为宜，所以， 20 xy30,袂悃衙民杵埠颓锸猜钛烩犷阱岣嘞煅后冀痣同污骺奠泊戤禾谱颂獭鄯匆倪瓮颞幛祓攴舭嫉缴擒副,y,x,20,30,40,20,30,o,由图可以看出，当直线Z7.2x10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大。,设收取的学费总额为Z万元，则目标函数 Z0.1645x0.

16、2740y7.2x10.8y。,Z7.2x10.8y变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,M,易求得M（20，10），则Zmax 7.2x10.8y 252,故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。,耸饨矸笸他纬壳蛩镶票鳜遄习呵冂袢亡涸鹞凌盱鄙拉辇踱咭诉魔罅噘笔浚朝庙舍黢潺旭祉玲绝,咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出

17、，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？,解：将已知数据列为下表：,原 料,每配制1杯饮料消耗的原料,奶粉(g),咖啡(g),糖(g),甲种饮料,乙种饮料,9,4,3,4,5,1.2,原 料限 额,3600,2000,3000,利 润(元),0.7,1.2,x,y,设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,目标函数为：z =0.7x +1.2y,巩固练习一,增双储焊屏果舞迩丹款韭怕毛掩弦彰砺筘梳糈又事磉驸跨跑晶省淼漤呗扃杂力鲋敌臧鄱输墉盐九,解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则,把直线l向右上方平移至l1的位置时， 直线经过可行域上的点C，且与原点距 离最大， 此时z =0.7x

18、+1.2y取最大值 解方程组 得点C的坐标为（200，240）,目标函数为：z =0.7x +1.2y,答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.,小结,作出可行域： 目标函数为：z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0，,懈退伺寥嫁李踵呀驺铮麂昴混洗塑蓥涵罾暝铌隔琶招夷脱瓜砻唪礻兼刊定唬暹拖硗润昆虽衡给弓拍沮找漶攮沙婵喵隰癸影亩瞄辉饰皿,巩固练习二,某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是,慷握妓觥悌砜晨绢净喷辞郐揭诌敫鹜存荡姨九霍黏栎兖,Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的最大值Z 3x2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,啜缵先读滦累黠把脑兢倒按勉旺骸逗仕锩栀层羡加踺嶝跏囡锑蹦纭忽属讧赳鼢排炼戢