重积分在球坐标系下的计算

1、一、球面坐标系,三重积分在球坐标系下的计算,二、典型例题,M(r,),r,N,y,x,z,.,一、球面坐标系,.,.,S,r,M,r =常数:, =常数:,球面S,动点M(r,),球面坐标的坐标面,C,r =常数:, =常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P, =常数:,锥面C,.,球面坐标的坐标面,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,16. 球面坐标下的体积元素,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsi

2、nd,16. 球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,rcos ),把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式,二、典型例题,适用范围,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离,r,R,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,1,M,r,R,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,对: 从0 积分，,.,1,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,对: 从0 积分，,R,对 : 从0 积分，得球体,.,1,得锥面,R,.,对r: 从0

3、R积分,得半径,任取球体内一点,对: 从0 积分，,对 : 从0 积分，得球体,得锥面,I=V,当 f =1,.,1,球系下确定积分限练习,1 为全球体,2 为空心球体,3 为上半球体,4 为右半球体,5 为球体的第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,.,2,a,化为球系下的方程,r=2a cos,.,M,.,r,3,P164.10.(2),例4:,解1:,解2,在柱面坐标系中计算,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P165.10.(1),例6.计算,解: 的表达式中含x2+y2+z2,可用球面坐标求积分.,x = r s

4、in cos, y=rsinsin, z=rcos.,且两球面方程分别为r=b和r=a,(ab).,P165.11,(4),由的形状知,arb,0 , 02.,解,例7,如图，,计算三重积分应注意的问题,1.适当地选取坐标系： 当积分区域是柱体（或其一部分）， 或在某坐标面上投影为圆域（或一部分）， 要不然被积函数为 型时采用柱面坐标，一般先对Z次对p后对积分。 当为球域（或其一部分）或被积函数 采用球面坐标，否则采用直角坐标。,2.三重积分化为三次定积分，无论选择什么坐标系和积分次序,最里层积分上下限一般是外面两层积分变量的函数， 中层积分上下限是外层积分变量函数， 最外层上下限一定是常数，无论哪层上限必大于下限。 3。关于最里层积分的定限： 若积分变量是dx一用平行x轴直线 若积分变量是dy一用平行y轴直线 若积分变量是dz一用平行z轴直线,穿过，观察穿入 穿出的情况定限。,若积分变量是dp时一定要从原点出发发出射线穿过区域