在职工程硕士GCT 数学第3章 集合映射和函数

1、第3章 集合、映射和函数,一、集合,二、映射,三、函数,（ 一次函数、, 二次函数）, 函数的性质（奇偶性、周期性）,第3章 集合、映射和函数,一、集合,1、集合的基本概念,把某些确定的对象集在一起，就形成了一个集合。, 元素与集合的关系：,集合常用 表示。,集合的元素常用 表示。, 集合的分类：,有限集,空集,无限集, 集合中元素的特性：,确定性、互异性、无序性。,2、集合的表示法,列举法,描述法,a. 列举法：,b. 描述法：,把集合的元素一一列举出来，并写在,大括号内。,把集合中元素的共同特性描述出来，并,写在大括号内。,一般形式为：,如：,3、几种常见的数集的表示符号,自然数集；,整数

2、集；,有理数集；,实数集；,复数集。,4、集合与集合之间的关系,三种符号：,三种关系：,子集,真子集,相等,如：, 是任何集合的子集。,是任何非空集合的真子集。,任意集合 是它本身的一个子集。, 区别五种符号：,例 集合 的子集的个数为（ ）,（P32 第1题）,（07年）,B,A.,B.,C.,D., 含有 个元素的有限集，共有 个子集。,证明：,设,则其子集有：,个。,5、集合的运算（ ）,且,或,设 则,且,例 已知,（P32 第2题）,C,A.,B.,C.,D.,则,（ ）.,解,例 设,（P33 第3题）,A,A.,B.,C.,D.,则,（ ）.,且,解,补,设集合,则 的元素个数为

3、（ ）.,A,A.,B.,C.,D.,解,先解方程：,故,因此 中最多有2个元素，排除C, D.,把 代入集合 中，,二、映射,（ 实际上是两个集合之间的对应（关系）,映射：,设 是两个集合，如果按照某个对应,法则 ，对于 中的任何一个元素，在 中,都有惟一的元素与之对应，则这样的对应称为,集合 到 的映射。,.,.,.,.,.,.,.,记作：,一一映射：,若映射 满足：,中不同的元素在 中有不同的象；,中每个元素都有原象。,则称 是 到 上的一一映射。,例 映射 是一种对应，对于这种对应关系，,以下的说法错误的是（ ）.,A.,B.,C.,D.,中每一个元素都存在 中元素与它对应；,中每个元

4、素不能对应 中一个以上的元素；,中可以有两个或两个以上的元素对应 中一个元素；,中不可有多余元素。,D,三、函数,定义：,设 是 的非空子集，则,则称映射 为 到 的一个函数。,记作：,.,.,.,.,.,.,.,函数的三要素：,定义域,对应法则,值域,决定要素, 几种常见的函数, 1、一次函数,（定义、图像、性质）,直线，,定义域和值域均为, 的含义：,直线的斜率，,锐角，增函数,钝角，减函数,直线在 轴上的截距。,.,.,正比例函数：,例 如果图1中给出了平面直角坐标系中直线,的图像，那么坐标为 的点在（ ）.,B,（2010年）,A.,B.,C.,D.,第象限,第象限,第象限,第象限,图

5、1,解,由图像知 y=x 一三,点在第象限。,例 某人从家到工厂的路程为 米。有一天，他从家,去工厂，先以每分钟 米的速度走了 米后，,A.,B.,C.,D,他加快了速度，以每分钟 米的速度走完了剩下的,路程。记该人在 分钟走过的路程为 米，那么,函数 的图像是（ ）.,（分）,（米）,（分）,（米）,（分）,（米）,D.,（分）,（米）,（P34 第13题）,（08年）,反比例函数：,定义域：,值域：,图像：,双曲线, 2、二次函数,（定义、图像、性质）,抛物线,抛物线：,1、开口朝向 a0 开口上 a0 开口下,2、顶点,3、对称轴,函数的性质：,1、单调性,2、最值,3、值域,（与开口、

6、对称轴有关）,（在顶点处取得）,1、开口朝向, 求抛物线的顶点（二次函数的最值）方法：,公式法,配方法,例,顶点为：,最小值为：,补,在同一直角坐标系中，一次函数,和二次函数 的图像大致为（ ）.,A.,B.,C.,D.,B,例 若图3中给出的函数 的图像与,轴相切，则 （ ）.,D,（2010年）,A.,B.,C.,D.,图3,解,由题知,法一,即,（舍）,法二,由题知,即,（舍）,例 设二次函数 图像的对称轴,为 ，其图像过点 ，则 （ ）.,D,（P33 第11题）,（06年）,A.,B.,C.,D.,解,由题意得,代入 得,故,因此,例 函数 在 上,单调增的充分必要条件是（ ）.,C

7、,（P33 第10题）,（03年）,解,由题意得,A.,B.,C.,D.,且,且,且,且,排除 A, B,又, 若区间改为： 呢？,则,例 下图直角坐标系 中的曲线是二次函数,的图像，则 （ ）.,B,（09年）,A.,B.,C.,D.,解,由图知,排除 A, C.,又 点 在抛物线上，,将其代入 B，D 中,选B.,法一,法二,又由图知，,对称轴为：,按 检验后，B正确。, 反函数,如果映射 是一一映射，则可确定,记作：,.,.,.,.,.,.,一个 到 的一个映射，称此映射为函数,的反函数。, 与 的定义域和值域相反。, 与 的图像关于直线,对称.,关于反函数的存在性, 若函数 在某区间内

8、是严格单调增（减），,则它一定存在反函数。, 若函数 在 ， ，则 在,上不存在反函数。,例,在 内不存在反函数。,但在 内存在反函数。, 求 的反函数的步骤：,从 中解出,调换 的位置。,确定 的值域，即反函数的定义域。,例 设 如果 的反函数的图像经过,B,（P33 第8题）,点 ，那么 （ ）。,A.,B.,C.,D.,解,由题意得,两边同时 次方 得,例 函数 的反函数是（ ）。,D,（P33 第9题）,A.,B.,C.,D.,解,由,得,又,故反函数为：,排除A, B.,由图可知原函数的值域为：,选D., 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）,1、单调性,若对,当,时,都有：,则称,

9、在,内单调增加；,的单调增加区间。,具有单调性的函数图像的特点：,增函数的图像是一条上升的曲线；,减函数的图像是一条下降的曲线。,2、奇偶性,关于原点对称,若对,都有：,偶函数,奇函数,的奇偶性。,奇偶函数图像的特点：,奇函数的图像关于原点对称；,偶函数的图像关于 轴对称。,（画图时可利用）, 奇偶函数的性质：,（1） 奇函数 奇函数 = 奇函数,偶函数 偶函数 = 偶函数,（2） 奇函数 奇函数 = 偶函数,偶函数 偶函数 = 偶函数,奇函数 偶函数 = 奇函数,2、利用已知函数的奇偶性和奇偶函数的性质判断。, 判断函数奇偶性的方法：,1、利用奇偶性的定义判断。,D,（P97 第7题）,A.

10、,B.,C.,D.,解,观察图像知，需判断函数的奇偶性。,例 函数 的部分图像是（ ）。,是奇函数，可排除A, C.,B,例 若奇函数 在 上是增函数，又,（P33 第6题）,则 可表述为（ ）.,解,画图即可,是奇函数，且,A.,B.,C.,D.,由图知，选B.,3、周期性,若存在非零常数 ，使对,定义域,都有：,均为周期函数。,周期函数图像的特点：,若 的周期为 ，则 也是,的周期。,即,C,例 函数 是定义在 上的周期为3 的,（09年）,周期函数，下图表示的是该函数在 上的图像，,则 的值等于（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,由图知,又,的周期为3,故,A,例 函数 是奇函数， 是

11、以4为周期的周期函数 ，,（2010年）,且 若,则 （ ）.,A.,B.,C.,D.,解,是奇函数,又,是周期为4的周期函数,故,A,例 若函数 是周期为6的奇函数，则,（2011年）,的值等于（ ）.,A.,B.,C.,D.,解,由题知,又,D,定义在 上的函数 既是偶函数又是,周期函数。若 的最小正周期是 且当,时， 则 的值为（ ）.,A.,B.,C.,D., 补,解,又,的周期为,即,偶函数,3、幂函数、指数函数和对数函数,a. 指数, 指数满足的规律： （P28）,b. 对数,若, 对数恒等式：,则 叫以 为底 的对数。,记作：, 指数、对数的互换：,特别地，, 对数满足的规律：式

12、中,（P29）,（换底公式）,补,补,设 且,则 （ ）.,A.,B.,C.,D.,解,先排除 A, C.,关键是求：,故,B, 幂函数,幂函数的定义域随 的不同而不同。但有一,公共定义域为：,且在 内，, 会画几种常见幂函数的图像,定义,形如： 的函数。, 指数函数与对数函数（互为反函数）,a. 指数函数定义、,b. 对数函数定义、,定义域：,值域：,单调性：,性质、图像,性质、图像,定义域：,值域：,单调性：, 问题：,在 内是否为增函数？,指数函数,对数函数,y,O,x,y,O,x,1,1,1,1, 复合函数的单调性,“同增异减”原理,内层函数,外层函数,若内层函数 ，则复合函数,的单调性与外层函数 的单调性相同；,若内层函数 ，则复合函数,的单调性与外层函数 的单调性相反。,例,解,外层函数,内层函数,在 内单调减少。,B,例 已知函数 在区间,（P33 第7题）