上海交通大学矩阵理论2009-2013年期末考试真题

1、?2009-2010ccc111?555?nnn?666? 6?n?1 ?K, o100. ?AL?A?=?. ?. ?JK(zK3, ?15) 1.?kR3?f?m U = (x,y,z)T R3|x + y + z = 0,W = (x,y,z)T R3|x = y = z 2. Kdim(U + W) dimU =() (A)0(B)1(C)2(D)3 2.?U,W ?mV ?f?m. ?e?o?“: .(U + W)= U+ W; fl .(U + W)= U W; Z.(U W)= U+ W; .(U W)= U W. K?“?() (A)?Z(B)? (C)fl ?Z (D)fl

2、? 3.?4?A?B ?“O?(x 1)2(x 2)?(x 1)(x 2)2, K? ? ( AA B 0B ) ?“?() (A)(x1)2(x2)(B)(x1)(x2)2(C)(x1)2(x2)2(D)(x1)3(x2)3 4.?A?n?_?, (A)?, | |?, K7k() (A)|A1| = 1/|A|(B)|A5| |A|5(C)|A5| |A|5(D)|A| (AA) 5.?n?A = (aij)?A?O?1, ,n? s1, ,sn, K7k() (A) n i=1 |i| = n i=1 |si|(B) n i=1 |i|2= n i=1 |si|2 (C) n i=1 |

3、i|2= n i,j=1 |aij|2(D) n i=1 |si|2= n i,j=1 |aij|2 ?. W?K(zK3, ?15) 6.?(x,y,z)T R3, (x,y,z)T) = (2xy,2x)T, K uIO-IO?. 7.?5?| ( 11 00 )( x1 x2 ) = ( b1 b2 ) ?)?. 8.?A = 1 3 212 221 122 , K?C?x 7 Ax?=? . 9.?A?3?, eAt= ettettet 0et0 00et , K?E A?f? . 10.?A?r 1?n?K?, B = EcosA, KB ?A?“?. 1 n.O?K(zK15, ?

4、60) 11.?V = Rxng?un?NX?“?5?m. V ?5 C? Xe: : f(x) 7 xf0(x) f(x),f(x) V. (1) ?A?A?; (2) ?mKer()?mIm()?|; (3)?V = Ker() Im()? nd. 12.?V = R2?5?m, (x,y)T V , e1= (1,0)T,e2= (0,1)T. (1)V ?S(,)?|e1,e1+ e2?|IO?; (2)3TSe, O?e2?e1 e2?; (3)? V ?C?, (e1) = e1+ e2. (x,y)T)? ?C? 2 13.?A = 100 101 010 . (1)A?Jord

5、anIO/J (?7O?C?P ); (2)?n 3, O?An An2?A2 E; (3) t 0(E A 2)eAsds. 14.?A Cnn?r 0, A?)?A = Udiag(s1,.,sr,0,.,0)V , ? s1 sr, U = (u1, ,un),V = (v1, ,vn)?j?, ui,vi Cn,1 i n. ? ?B = ( A A ) . (1)B ?); (2)BB ?); (3)BB ?Moore-Penrose2_. 3 o.yK(zK10, ?10) 15.? C6?5C?, ?A?“?( 1)( 2)2( 3)3. y: (1)?3 ?n?Cf?mUi,

6、?dimUi= i, i = 1,2,3, ?C6= U1 U2 U3; (2)?k?5?m?5C?, ?2(1)?(?. 4 上上上海海海交交交通通通大大大学学学2010-2011学学学年年年第第第一一一学学学期期期矩矩矩阵阵阵理理理论论论试试试卷卷卷A卷卷卷 共共共八八八道道道大大大题题题目目目，八八八页页页试试试卷卷卷 姓名学号矩阵理论分班号成绩 本试卷共四道大题, 总分100分. 其中A表示矩阵A的共轭转置. 一.单单单项项项选选选择择择题题题(每题3分, 共15分) 1. 设A = 100 100 100 ，则A200 A199=( ) (A)E;(B)0;(C)A;(D) A2.

7、2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是() (A)次数等于m(m 1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法. (B)Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； (C)平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k x = x0，k是实数, x0是某一取定向量. (D)投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； 3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是() (A)保持向量的长度不变;(B)将标准正交基变为标准正交基； (C)保持任意两个向量的夹角不变；(D) 在任意标准正交基下的矩阵为正交矩 阵.

8、4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是() (A)A与对角矩阵相似；(B)A的特征值只可能是1或者0； (C) sin(A) = sin(1) A;(D)幂级数 k=0 Ak= (E A)1. 5.设V1,V2是V 的两个线性子空间，则与命题“V1+ V2的任意元素的分解式唯一”不等价 的命题是() (A)V1 V2= 0; (B)dim (V1+ V2) = dimV1+ dim V2; (C) V1+ V2的零元素的分解式唯一. (D)V1 V2 = V ； 1 二.填填填空空空题题题(每空3分, 共15分) 设二维线性空间V 的线性变换T1: V 7 V 与T2: V 7 V 在基1

9、,2下的矩阵分别为 A = (1 0 21 ) ,B = (1 0 20 ) . 1、T1,T2的乘积T1T2: V 7 V 在基1,2下的矩阵为. 2、dim R(T1)=. 3、R(T1) N(T2)的一个基为. 4、若常数k使得k(A + B)为幂收敛矩阵，则k应该满足的条件是. 5、 (A 0 BB ) 的Jordan标准型为. 2 三.计计计算算算题题题(12分) 向量空间R22中的内积通常定义为 (A,B) = 2 i=1 2 j=1 aijbij,(A = (aij)22, B = (bij)22.) 选取A1= (1 1 00 ) , A2= (0 1 11 ) ，构造子空间W

10、 = A1,A2。 1、求W的一组基； 2、利用已知的W和W求R22的一个标准正交基。 3 四.计计计算算算题题题(18分) 已知 A = 200 031 011 , 1、求矩阵A的Jordan标准型J和可逆矩阵P使得A相似于J； 2、计算矩阵eA； 3、求下列微分方程组的解 dx dt = Ax, x(0) = x0, x0= 1 1 1 . 4 五.计计计算算算题题题(10分) 设A Cmn的秩为r，A的奇异值分解为A = UDV , D = ( O OO ) mn , = diag(s1, ,sr) 求矩阵B = (A A)的奇异值分解和它的Moore-Penrose广义逆B+. 5 六

11、计计计算算算题题题(18分) 设多项式空间P4t = f(t) = a0+ a1t + a2t2+ a3t3|ai R中的线性变换为 Tf(t) = (a0 a1) + (a1 a2)t + (a2 a3)t2+ (a3 a0)t3. 1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A； 2、求与A相关的四个子空间N(A), R(A), R(AT)和N(AT)； 3、求线性变换T的值域的基与维数； 4、求线性变换T的核的基与维数。 6 七.证证证明明明题题题(6分) 设A Cnn证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B,使得A = B2. 7 八、证证证明明明题题题(6分) 设A为n阶矩阵，证明

12、：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g()使 得g(A) = 0。 8 上海交通大学 2011-2012 学年硕士研究生矩阵理论试卷上海交通大学 2011-2012 学年硕士研究生矩阵理论试卷 姓名_ 学号_ 任课教师_ 得分_ 一 单项选择题(每题 3 分,共 15 分) 1. 设 ，则 A 不 不存在： 021 241 115 A A 谱分解 B 满秩分解 C 三角分解 D 奇异值分解 2. 设 f(A)= 1( 1) k k k A k 收敛，则 A 可取为： A B C 0 2 0 1 1 3 0 1 0 2 0 1 D 1 3 0 1 3. 5 阶复数矩阵A的最小多项

13、式为f()=2(2-4)( +3), 则 dim( )N A +dim(*)R AA为 A 5 B 6 C 7 D 8 4. 设 A 为 n 阶正交投影矩阵，则下列说法不不正确的是 A B C A 的 Jordan 型中约当块的数目为 n D A 可以有复特征值 2 AAA ) * A 5 设 F 是数域，则 (, mn Hom FF A dim B (Im)dim()Kerm dim(Im)dim()Kern C dim D dim(Im)dim()Kerm (Im)dim()Kern 二 填空题(每题 3 分,共 15 分) 1 设，则= （ ） 。 2 20AAE At e 2 设A为n

14、阶可逆矩阵，0 为n阶零矩阵，则矩阵 0 0 0 A 的A A , + 广义逆=（ ） 。 3 设，则的 Frobenius 范数为（ ） 。 101 112 003 A 4 设 1,23 为 3 维线性空间 V 的一组基，EndV，且在 1,23 , 下的矩阵为，则 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 在基 3,12 54,3下的矩阵为（ ） 。 5 012 201 120 , i aaa VAaaaaR aaa V 为 3 3 =（ ） 。 的子空间，则RdimV 三 计算与证明题（共 70 分） 1（20 分） 设 311 201 112 A 1） 求A的谱

15、分解； 2） 求A的 Hermite 型，并由此求得A的满秩分解； 3） 求 2011 A。 2 （15 分） 求常系数线性齐次微分方程组 0 ( )( ) ( )|(0) t x tAx t x tx 的解，其中。 2211 111, (0)1 1221 Ax 3 （10 分）设 V 为 n 维线性空间。证明：V 中任意线性变换必可表示为一个可逆变换与一个幂等变换的乘积。 4（15 分）设 100 510 201 A 7 ，写出的 Jordan 标准型并求矩阵AB使得BA。 5（10 分）设() n n ij AaC ，且满足 2 , ,1 | n i j i j a 2 。证明：53EA可

16、逆，并求其逆。 上上上海海海交交交通通通大大大学学学 2012-2013 学学学年年年第第第一一一学学学期期期矩矩矩阵阵阵理理理论论论试试试卷卷卷 (2013.1.3,14:00-16:00) 姓名学号矩阵理论分班号或任课教师成绩 本试卷共 4 页, 15 道题, 满分 100 分. 其中diag表示对角矩阵，A表示A的共轭转置. 一. 单项选择题 (每题3分, 共15分) 1.设V = C33是全体 3 阶复方阵构成的复线性空间, U,W 是 V 的两个子空间, 其中 U = A V |trA= 0,W = A V |AT+ A = 0. 则dim(U + W) dimU =() (A) 0

17、(B) 1(C) 7(D) 8 2.设U,W 是内积空间V 的两个子空间. 则 (A)(U + W)= U+ W(B)(U + W)= U W (C)(U W)= U W(D)(U W)= U + W 3.设两个4阶复矩阵A与B 的最小多项式分别为x2(x1)与x(x1), 则矩阵 ( A0 0B ) 的 Jor- dan 标准形所含 Jordan 块的个数为 () (A) 5(B) 6(C) 7(D) 8 4.设| |a分别表示复线性空间 Cn的 a- 范数, a = 1,2,. 设x Cn. 则必有 () (A)|x|1 |x|2 |x|(B)|x|2 |x|1 |x| (C)|x| |x

18、|1 |x|2(D)|x| |x|1 n|x| 5.设2阶复矩阵A,B,A B 均为投影矩阵, 则 () (A)AB = BA = 0(B)AB = BA = I(C)AB = BA = A(D)AB = BA = B 二. 填空题 (每题3分, 共15分) 6.设 ( x y ) R2, ( x y ) = ( x 0 ) , 则 关于基 ( 1 1 ) , ( 1 1 ) 的矩阵为 (). 7.线性方程组 11 11 00 ( x1 x2 ) = 1 3 1 的最优解为 ( ). 8.设 是通常欧氏空间R2上的正交变换, 且 ( 3 4 ) = ( 5 0 ) , 则 ( 0 5 ) =(). 9.矩阵A 的三角分解为 ( 10 11 )( 11 01 ) , 则A的正交三角分解为 (). 10.设A是秩为2的3阶正交投影矩阵, 则矩阵IsinA的 Jordan 标准形为 (). 1 三.计算题 (每题15分, 共60分) 11.设V = R3是实线性空间. 定义V 上的线性变换 如下: : (x1,x2,x3)T7 (x2,2x2+ 2x3,x2 x3)T,(x1,x2,x3)T V. (1)求 的核空间Ker()与像空间Im()的