离散数学集合的基本运算.ppt

1、3.2 集合的基本运算,集合的交、并、差、补、对称差 集合相等的证明,并集union,定义：设A，B是两个集合，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB; AB=xxA xB。,交集intersection,定义：A，B是两个集合，即属于A，又属于B，称为集合A与B的交集，记为AB。即AB=xxA xB,广义的并集,集合的并(union)：集合A和B的并AB定义为：AB = x | xA或者xB，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的并定义为： A1A2An = x | 存在某个i，使得xAi,广义的交集,集合的交(intersectio

2、n)：集合A和B的并AB定义为：AB = x | xA而且xB，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的交定义为： A1A2An = x | 对所有的i，都有xAi,集合的交并例题1,例如：集合A=x-2x2，xR， B=x0 x4,xR 求AB，AB 。 解： AB=x-2x2或0 x4,xR =x-2x4,xR AB=x-2x2且0 x4,xR =x0 x2,xR,集合的交并例题2,设A为奇数集合，B为偶数集合，求AB和AB 。 解：AB=xx是偶数或x是奇数=Z AB=xx既是偶数又是奇数=,集合的交并例题3,设A1=1，2，3，A2=2，1，3， A3=3

3、，1，2， 求A1A2，A1A3，A2 A3。 解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没有相同元素，A1A2=A2A3=A3A1=,不相交,如AB=称A，B不相交。,集合的差,设A，B是两集合，属于A而不属于B的元素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B=xxAxB。,补集(complement set),集合A的补集，记为A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合， 即A=x | xA。 通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。 显然，A=E-A。,可知：xA xA xA,求证A-B=AB

4、,证明 A-B=x|xA-B =xxAxB =xxAxB =AB,当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B,对称差,定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A）称为集合A，B的对称差，记作AB。 即AB=xxA且x BxB且x A =x(xAx B)(xBx A) AB=(AB)-(AB),对称差举例,例1、A=a,b,e B=a,c,d 解：B-A=c,d A-B=b,e， AB=c,d,b,e 例2、A=xx-2,xR,E=xx2求A，AA。 解：A= xx-2=x-2x2，xR A-A= AA=(A-A)(A-A)=,集合运算性质（运算律）,1、 交换律AB=BA，AB=BA 2、

5、结合律（AB）C=A（BC） （AB）C=A（B C） 3、 分配律 A（BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC) 4、幂等律 AA=A，AA=A 5、同一律 A=A,AE=A 9、 德摩根律（AB）=AB 6、零一律 A=，AE=E （AB）=AB 7、补余律 AA=，AA=E 10、双重否定律（A）=A 8、吸收律 A（AB）=A 注：A-B=AB A（AB）=A,集合相等的证明的方法,一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）,证明：A（BC）=（AB）（AC）,(1)xA(BC ) ,分两种情况 (a) 如x

6、AxAB且x AC x(AB)(AC) (b) 如x A,则xBCxB且xC xAB且xAC x(AB)(AC) 任何情况下均有x(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC),证明：A（BC）=（AB）（AC）(续),(2)x(AB)(AC)xAB且xAC 分两种情况 (a) 若xA,则xA(BC) (b) 若x A， 由x A,xABxB, 由x A,xACxC xBCxA(BC) 任何情况均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并为 A（BC）=（AB）（AC）,求证：A-(BC)=(A-B)(A-C),证明： x(A-B)(A-C)， 则x(A-B) x(A-C) （

7、xA)(xB)(xA)(xC) （xA)(xB)(xC) （xA)(xB)(xC) （xA) (xBxC) (xA)(xBC ) x A-(BC) 从而， A-(BC)=(A-B)(A-C),利用谓词公式证明求证：A-(BC)=(A-B)(A-C),证明：(A-B)(A-C)x|x(A-B)(A-C) =x|x(A-B) x(A-C) =x|xA(xB)(xA)(xC) =x|(xA)(xB)(xC) =x|(xA)(xB)(xC) =x|（xA) (xBxC) =x|(xA)(xBC ) =x| x A-(BC) =(A-B)(A-C),利用集合等式证明求证：A-(BC)=(A-B)(A-C

8、),(A-B)(A-C)ABAC =ABC =A(BC) =A-(BC),证明吸收律A（AB）=A,证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A,已知AB=AC,AB=AC,求证B=C,证明:B=B(AB) (吸收律) =B(AC) (等量代入) =(BA)(BC)(分配律) =(AC)(BC)(等量代入) =(AB)C(分配律) =(AC)C(等量代入) =C (吸收律) 说明:AB=ACB=C AB=ACB=C 两种推理均是不成立的。,课堂练习,用三种方法求证： (B-A)A=BA,集合的化简,化简(ABC)(AB)-(A(B-C)A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)

9、=(AB)A =(AA)(BA)(分配律) =(BA) (互补律) =BA (同一律),集合包含的性质,AE 如果ABC，则AC ABAAB AB AB=B AB=A B A,集合包含的证明,方法： 一、包含的定义；xA，最后x B ； 二、利用已知等式和包含性质 A B AB=B AB=A A-B= B A,例题：证明：A，B是集合，AB P（A）P(B）, uP(A) uA, AB uB, uP（B） 从而P(A)P(B), xA xA xP(A), P(A)P(B) xP(B) xB AB 。, 另外 AP(A), P(A)P(B) AP(B) AB 。,例题：证明：如果AB，那么B A,证明： B A = (BA) = A 从而 B A,求证：如果A B，则P(A) P(B),证明：(使用定义：x左，最后x 右) x P(A) ，则x A， 又由已知A B，所以x B 从而x P(B) 。 P(A) P(B),例题,设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，R表示计算机系学生的结合，M表示数学系学生的集合，T表示选修离散数学的学生的集合，L表示爱好文学的学生的集合，P表示爱好体育的学生的集合。则下列句子所对应的集合表达式为：,1）所有计算机系二年级