文科数学第五章第三节.ppt

1、第三节等比数列及其前n项和,第五章数 列,考 纲 要 求,1理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等比数列与指数函数的关系.,课 前 自 修,知识梳理,一、等比数列的定义 一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即 q(nN*)，则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0) 二、等比数列的通项公式 若数列an为等比数列，则ana1qn1.,五、等比数列 的主要性质 1anamqnm(n，mN*) 2对于任意正整数m，n，r，s，只要满足m

2、nrs，则amanaras. 3对于任意正整数p，r，s，如果pr2s，则apar . 4对任意正整数n1，有 an1an1. 5对于任意非零实常数b，ban也是等比数列 6若an，bn是等比数列，则anbn也是等比数列,7等比数列 中，如果an0，则logaan是等差数列 8若数列loga an成等差数列，则an成等比数列 9若数列 是等比数列，则数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列 10若数列 是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列，所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m),1(2012北京市西城区模拟) 若数列是公比为4的等比数列，且a12，则数

3、列log2an是() A公差为2的等差数列 B公差为lg 2的等差数列 C公比为2的等比数列 D公比为lg 2的等比数列,答案：A,基础自测,2(2012三明市模拟)设数列 为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.,3(2012辽宁卷)已知等比数列an为递增数列，且 a10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an _.,解析： a10，(a1q 4)2a1q 9. a1q.anqn. 2(anan2)5an1， 2an(1q2)5anq. 2(1q2)5q. 解得q2 ，an2n. 答案：2n,（舍去q ),考 点 探 究,考点一,等比数列基本量

4、的计算,【例1】(1)已知等比数列an中，a1a2a37，a1a2a38，求公比q，首项a1及通项公式an. (2)(2011大纲全国卷)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.,思路点拨：利用等比数列的基本量的关系式，根据条件列方程，进而求出a1和q.,点评：转化成基本量的方程，进而解方程是解决数列问题的基本方法,变式探究,1(1)(2012南宁市适应性测试)已知数列an是正项等比数列，若a22,2a3a416，则数列an的通项公式an() A2n2 B22n C2n1 D2n (2)(2012泉州市四校联考)满足a11，log2an1log2an1(nN*

5、)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1 025的最小n值是() A9 B10 C11 D12,考点二,等比数列的证明(或判断),【例2】(2012赣州市期末改编)设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn(m1)man(m为常数，且m0) (1)求证：数列an是等比数列； (2)设数列an的公比qf(m)，数列bn满足b12a1，bnf(bn1)(n2，nN*)，求数列bn的通项公式,变式探究,2已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1,2,3，. (1)证明：数列lg(1an)是等比数列； (2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列an的通

6、项；,(2)解析：由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg 3lg ， 1an ，an 1. Tn(1a1)(1a2)(1an) 31 2 .,an 1，a12，an1 ， Sn1 . 又Tn ， Sn 1.,【例3】(2012大连市模拟)在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)设bnan1an(nN*)，证明：bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式,思路点拨：本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.,(1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2)，得 an1

7、anq(anan1)，即 q(n2) 又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列 (2)解析：由(1)得an1anqn1(nN*)，于是有 a2a11， a3a2q， ,变式探究,3(2012西安一中期中)已知数列an满足，a11，a22，an2 ，nN* . (1)令bnan1an，证明：bn是等比数列 (2)求an的通项公式,(1)证明：b1a2a11， 当n2时，bnan1an an (anan1) bn1， 所以bn是以1为首项， 为公比的等比数列,考点三,等比数列性质的应用,思路点拨：根据题设条件，注意利用等比数列的性质“若mnrs(m，n，r，sN*)，则ama

8、naras”，问题迅速解决,点评：灵活运用等比数列的有关性质，尤其是下标和性质“若mnrs(m，n，r，sN*)，则amanaras”，可以起到事半功倍的奇效,变式探究,考点四,等差数列与等比数列的综合,【例5】已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列： ， ， 恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.,思路点拨：运用等差(比)数列的定义分别求得 ，然后列方程求得kn.,解析：设an的首项为a1， ， ， 成等比数列，且k11，k25，k317， (a14d)2a1(a116d)， 解得a12d，q 3. a1(kn1)d， a13n1，kn23n11

9、. k1k2kn2(133n1)n 2 n3nn1.,点评：运用等差(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意akn是等差数列中的第kn项，也是等比数列中的第n项,变式探究,1解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想：理解等比数列的定义与特征“知三求二”，即知道an，a1，n，q，Sn这五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个 (2)分类的思想： 运用等比数列的求和公式时，需要对q1和q1讨论； 利用指数函数的单调性讨论等比数列的单调性(分类讨论) 若an1ana1(q1)qn1，则 当a10，q1或a11或a10,0q1时，等比数列 为递减数列,2等比数列的判

10、定方法： (1) q(q是不为0的常数，nN*) 等比数列 (2)ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*) 等比数列 3an为等比数列是 anan2的充分但不必要条件 4若证an不是等比数列，只需证 ak1ak1(k为常数，kN，且k2).,感 悟 高 考,品味高考,1(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10() A7 B5 C5 D7,解析：an为等比数列，a5a6a4a78.又a4a72，a44，a72或a42，a74.若a44，a72，解得a18，a101，a1a107；若a42，a74，解得a108，a11，仍有a1a107.综上选D. 答案

11、：D,2(2012陕西卷)设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列 (1)求数列an的公比； (2)证明：对任意kN*，Sk2，Sk，Sk1成等差数列,(1)解析：设数列an的公比为q(q0且q1) 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4， 即2a1q2a1q4a1q3. 由a10，q0得q2q20，解得q12(舍去q21)，所以q2.,高考预测,1(2012衡阳八中月考)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3 5 ，a4a5a6 ，则a7a8a9() A10 B2 C8 D.,解析：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，公比为 ，所以a7a8a9(a1a2a3)q210.故选A. 答案：A,2(2012三明市联考)已知数列a