数学分析研究什么问题.ppt

1、引言,数学分析研究什么问题? 与初等数学有何联系？ 使用什么方法？ 学习的特点和方法有哪些？,1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是,当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0,时间 t 的函数, 即其运动规律是 则在某,时刻的瞬时速度. 但总是近似值，不是精确值。,时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是,2. 切线的斜率 如图所示,其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线,点击上图动画演示,点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这,PT. 为此我们在 P 的邻近取一,需要寻找曲线 y = f (x) 在,条割线的斜率为,答: 它就是曲线在点 P 的切线 P

2、T 的斜率.,无限靠近的值,会是什么呢？,设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，,以上两个问题的特点是： 部分的以直代曲，以不变（平均）代替变化。,3.面积计算问题,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3)

3、 近似和.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 常代变.,得,已知速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 个小段,过的路程为,3) 近似和.,.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 常代变 , 近似和 ”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由上可见初等数学 与数学分析区别在于,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,数学分析, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,

4、有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束,二、如何学习数学 分析?,1. 认识数学分析的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,第一节 目录 上页 下页 返回 结束,华罗庚,第一章实数集与函数1 实数,返回,五、

5、实数的稠密性,六、实数与数轴上的点一一对应,七、实数的绝对值与三角形不等式,三、实数的四则运算,四、实数的阿基米德性,一、实数的十进制小数表示,二、实数的大小,返回,记号与术语,1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示.,若,其中,一、实数的十进制小数表示,若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.,即: 若,则,用无限小数表示实数，称为正规表示.,x 可用循环十进制小数表示，,4. 无理数为无限不循环小数.,二、实数的大小,是正规的十进制小数表示, 规定,实数的大小关系有以下性质:,三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.,即大小关系具有传递性.,三、实数的四则运算,实数集 R 对加、减、

6、乘、除（除数不为 0）亦是,有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是,实数的四则运算与大小关系, 还满足:,封闭的.,封闭的.,四、实数的阿基米德性,实数具有阿基米德性:,理由如下：设,为第一个不为零的正整数,例1,证,阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.212B.C. , 希腊 ),阿基米德,阿基米德(Archimedes，约公元前287212)古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。,在力学方面 ，系统并严格的证明了杠杆定律，为静力学奠定了基础，并利用这一原理设计制造了许多机械。他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律； 在数学方面，阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法，创立了“穷竭法”； 在天文学方面，他提出地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的“日心地动说”要早一千八百年。,五、实数的稠密性,数又有无理数.,证,例2,证,的无理数.,设k是满足,的最大整数,六、实数与数轴上的点一一对应,实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.,1. 这种对应关系，粗略地可这样描述：,反之, 任何一实数也对应数轴上一点.,2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的,完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.,七、实数的绝对值与三角形不