2.1.2函数的表示方法

1、1.2.1,函数的概念,返回目录,1. 什么是函数? 它反映的是一个什么关系?,2. 函数由哪三大要素构成?,3. 函数用什么符号表示? 它的含义是什么?,5. 什么是区间? 怎样用区间表示数的范围?,4. 什么是函数的定义域和值域? 怎样确定函数的定义域?,问题1. 一枚炮弹发射后, 经过26 s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m, 且炮弹距地面的高度 h (单位: m) 随时间 t (单位: s) 变化的规律是 h=130t-5t2. 请问: 变量 t 只能在什么范围变化? 变量 h 只能在什么范围变化? t 在其变化范围内任取一个值, h 在其变化范围内是否一定有唯一的一个值与

2、之相对应?,0t26.,0h845.,(3) 在变化规律 h=130t-5t2 的作用下, 在其范围内, 每一个 t 对都应着唯一一个 h 的值.,(2) h 的变化范围:,(1) t 的变化范围:,又如: 近几十年, 大气层中的臭氧迅速减少, 因而出现了臭氧层空洞问题. 如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况.,(1) t 的范围:,A=t|1979t2001.,(2) S 的范围:,B=S|0S26.,(3) 由曲线看出, 每一个 t 的值, 都有唯一个 S 的值与之对应.,再如: 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低, 恩格尔系数越低, 生活

3、质量越高. 下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来, 我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.,(1) 年数 t 的范围:,A=tN*|1991t2001.,(2) 恩格尔系数 E 的范围:,B=E|37.9E53.8.,(3) 每一个 t 的值, 都有唯一个 E 的值与之对应.,在上述问题中, 都有这样的三个特征:,(1) 一个变量属于集合 A;,(2) 另一个变题属于集合 B;,(3) A 中的每一个值在 B 中都有唯一的值与之对应.,一般地, 集合 A 中的每一个元素 x, 按照对应关系 f, 在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应, 我们记作 f: AB. 对

4、应关系可用符号 y=f(x) 表示.,一般地, 设 A、B 是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应, 那么就称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y = f (x), xA.,其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 f (x) | xA 叫做函数的值域.,如: 在问题 1 中, h = f (t) = 130t - 5t2.,定义域为: t | 0t26,值域为: h | 0h485.,t =

5、2 时的函数值为,f (2)=1302-522,=240.,以上的数学关系式、图象、数据表, 都反映了两个量的变化关系.,函数的实值, 就是两个量的变化关系.,学习函数, 就是研究两个变量在一定范围内的变化关系, 掌握其变化关系后, 用以解决一些实际问题.,在研究函数的定义域和值域时, 常用到区间.,设 a, b 是两个实数, 且 ab 时, 规定:,(1) 满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间, 表示为 a, b;,(2) 满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间, 表示为 (a, b);,(3) 满足不等式 axb 或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别

6、表示为 a, b), (a, b.,实数 a、b 分别叫做区间的左、右端点.,实数集 R 可用区间表示为(-, +).,【区间】,定义,名称,符号,数轴表示,x|axb,闭区间,a, b,x|axb,开区间,(a, b),x|axb,半开半闭区间,a, b),x|axb,半开半闭区间,(a, b,问题2. 初中我们学过二次函数, 你能用区间写出二次函数 f (x)=ax2+bx+c 的定义域和值域吗?,定义域是 (-, +);,(1) 当a0时, 值域为,(2) 当a0时, 值域为,(注意: 的一端用开区间),例 1. 已知函数 (1) 求函数的定义域; (2) 求 f (-3), 的值; (

7、3) 当 a0 时, 求 f (a), f (a-1) 的值.,解:,(1),要使函数式有意义, 需,x+30,x+20.,解不等式组得,函数的定义域是,-3, -2),(-2, +).,例 1. 已知函数 (1) 求函数的定义域; (2) 求 f (-3), 的值; (3) 当 a0 时, 求 f (a), f (a-1) 的值.,问: 你能说说求函数定义域的要点吗?,(2) 使实际问题有意义.,(1) 使函数式有意义;,例 1. 已知函数 (1) 求函数的定义域; (2) 求 f (-3), 的值; (3) 当 a0 时, 求 f (a), f (a-1) 的值.,解:,(2),f (-3

8、) =,= -1;,例 1. 已知函数 (1) 求函数的定义域; (2) 求 f (-3), 的值; (3) 当 a0 时, 求 f (a), f (a-1) 的值.,解:,(3),f (a) =,f (a-1) =,例2. 下列函数中哪个与函数 y = x 相等? (1) (2) (3) (4),分析:,函数的构成有三要素:,二是定义域,三是值域.,三个要素都相同的函数就是相等函数(同一函数).,一是对应关系,例2. 下列函数中哪个与函数 y = x 相等? (1) (2) (3) (4),分析:,(1)(2)(4) 都可化为 y = x 的形式,再看定义域和值域:,(1) 的定义域、值域都

9、是,y = x 的定义域是 值域是,R,0, +),(2) 的定义域、值域都是,(4) 的定义域、值域都是,(-, 0)(0, +),R,于是可知(3)式中函数 与函数 y = x 相等.,R,先看解析式:,(3) 式化为 y=|x|,显然(3) 与 y=x 不相同.,1. 求下列函数的定义域: (1) (2),解:,(1),要使函数式有意义, 需,4x+70,即,函数的定义域为,(2),要使函数式有意义, 需,解得 -3x1,函数的定义域为 -3, 1.,练习: (课本19页),2. 已知函数 f (x)=3x3+2x. (1) 求 f (2) 、f (-2) 、f (2) + f (-2)

10、的值; (2) 求 f (a) 、f (-a) 、f (a) + f (-a)的值.,解:,(1),f (2) =323+22,=28.,f (-2) =3(-2)3+2(-2),= -28.,f (2) + f (-2) = 323+22 +3(-2)3+2(-2),= 0.,(2),f (a) =3a3+2a.,f (-a) =3(-a)3+2(-a),= -3a3-2a.,f (a) + f (-a) =3a3+2a+3(-a)3+2(-a),=3a3+2a-3a3-2a,= 0.,3. 判断下列各组中的函数是否相等, 并说明理由: (1) 表示导弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数

11、h=130t-5t2 和二次函数 y=130 x-5x2; (2) f (x)=1 和 g(x)=x0.,解:,(1),两函数不是同一函数,函数 h=130t-5t2 中, 定义域是 0, 26,而函数 y=130 x-5x2 中, 定义域是 R,两函数不是同一函数.,(2),两函数不是同一函数,函数 f (x)=1 的定义域是 R,而函数 g (x)=x0 的定义域是xR | x0,两函数不是同一函数.,【课时小结】,1. 函数,函数的三个构成要素:,定义域, 值域, 法则(解析式).,一般地, 设 A、B 是非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任一个数 x,

12、 在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应, 那么就称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y = f (x), xA.,三要素相同, 则为同一函数.,【课时小结】,2. 函数的法则与函数值,3. 求函数的定义域,一般地, 函数法则用 y=f(x) 表示.,给定一个自变量 x 的值, 即能根据法则求出函数值 f(x).,(2) 使实际问题有意义.,(1) 使函数式有意义.,【课时小结】,4. 区间,闭区间: a, b, axb.,开区间: (a, b), axb.,半开半闭区间: a, b), axb;,实数 a、b 分别叫做区间的左、右端点.,实数集 R 可

13、用区间表示为(-, +).,(a, b, axb.,解:,(1),要使函数式有意义, 需,x-40,得 x4,原函数的定义域为,(-, 4)(4, +)., x 取一切实数函数式都有意义,原函数的定义域为 R.,(2),解:,(3),要使函数式有意义, 需,x2-3x+20,得 x1, 且 x2,原函数的定义域为,(-, 1)(1, 2)(2, +).,解:,(4),要使函数式有意义, 需,解得 x4, 且 x1,原函数的定义域为,(-, 1)(1, 4.,2. 下列哪一组的函数 f (x) 与 g(x) 相等? (1) f (x) =x-1, g(x) = -1; (2) f (x) =x2

14、, g(x) = (3) f (x) =x2, g(x) =,解:,(1),f (x)的定义域和值域都是,而 g(x)的定义域是,(-, +).,(-, 0)(0, +), f (x) g(x).,值域是,(-, -1)(-1, +).,2. 下列哪一组的函数 f (x) 与 g(x) 相等? (1) f (x) =x-1, g(x) = -1; (2) f (x) =x2, g(x) = (3) f (x) =x2, g(x) =,解:,(2),f (x)的定义域是,而 g(x)的定义域是,(-, +).,0, +)., f (x) g(x).,2. 下列哪一组的函数 f (x) 与 g(x

15、) 相等? (1) f (x) =x-1, g(x) = -1; (2) f (x) =x2, g(x) = (3) f (x) =x2, g(x) =,解:,(3),变换 g(x) 得,f (x)和 g(x)的定义域都是 R,0, +)., f (x) = g(x).,=|x|2,=x2,f (x)和 g(x)的值域都是,4. 已知函数 f (x)=3x2-5x+2, 求 f ( ), f (-a), f (a+3), f (a)+f (3) 的值.,解:,f (-a)=3(-a)2-5(-a)+2,=3a2+5a+2.,f (a+3)=3(a+3)2-5(a+3)+2,=3a2+13a+1

16、4.,f (a) + f (3)=3a2-5a+2+332-53+2,=3a2-5a+16.,1.2.2,函数的表示法,第一课时,函数的表示,返回目录,1. 函数有哪三种表示方法?,2. 函数的各种表示方法各自最能反映函数的哪些特性?,3. 函数的各种表示方法怎样互相联系, 互相转化?,问题1. 初中我们学了一次函数, 二次函数, 反比例函数等, 这些函数可以用哪些方法进行表示?,函数的表示一般有三种方法: 解析法、图象法和列表法.,解析法, 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系, 这个表达式又称解析式.,图象法, 就是用图象表示两个变量之间的对应关系.,列表法, 就是列出表格来表示两个

17、变量之间的对应关系.,下面我们举例分析这三种表示方法的特点.,例3. 某种笔记本的单价是 5 元, 买 x ( x1, 2, 3, 4, 5 )个笔记本需要 y 元. 试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).,解:,(1) 解析法表示:,y = 5x, x1, 2, 3, 4, 5.,(2) 列表法表示:,(3) 图象表示:,问: 三种表示方法各有什么优点?,(直接反映法则),(直接反映函数值),(直观反映出定义域, 值域及大小关系),例4. 下表是某校高一 (1) 班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.,请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.,分析:,三

18、位同学的成绩用列表法表示, 其优点:,各次测试成绩有具体的分数, 能根据分数分析三位,同学各次测试的情况.,下面我们用图象法表示.,四个函数的图象如图:,王伟成绩较平稳,且高于班平均;,张城起伏较大,且有下降趋势;,赵磊较平稳进步,接近了班平均分.,此题函数不便于用解析法表示.,如果进行每次考试的成绩比较, 列表法较方便.,如果进行综合分析, 图象法便于分析.,(1),(2),(3),例(补充). 用图象法表示二次函数 y=ax2+bx+c.从图象上观察其定义域, 值域以及自变量 x=0 时的函数值.,我们用几何画板软件画出函数的图象, 并变化 a, b, c 的值进行观察.,(补充练习).

19、画出反比例函数 的图象, 并写出它的定义域和值域.,定义域:,列表:,(-, 0)(0, +).,值域:,-1,-2,2,1,(-, 0)(0, +).,解:,由勾股定理得矩形的宽为,则矩形面积的函数为,(0x50),2. 画出定义域为 x | -3x8, x5, 值域为 y | -1y2, y0 的一个函数的图象. (1) 将你的图象和其他同学的相比较, 有什么差别吗? (2) 如果平面直角坐标系中点 P(x, y) 的坐标满足 -3x8, -1y2, 那么其中哪些点不能在图象上?,解:,画出如图的函数图象:,(1),x5, y0,点(5, 0)一定不在图象上.,在定义域与值域内, 一个 x

20、 对应唯一一个 y 值.,(2),满足条件的图象有,很多种, 请同学们互相比较.,B 组,【课时小结】,1. 函数的表示法,解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系, 这个表达式又称解析式.,图象法: 用坐标平面内的图象表示两个变量之间的对应关系.,列表法: 用数据表格表示两个变量之间的对应关系.,【课时小结】,2. 函数表示法的特点与联系,(1) 解析法是用解析式表达, 便于代数运算,是函数中常用的表示方法.,(2) 图象法较为直观, 便于分析研究, 函数的很多性质在图象上可以一目了然.,(3) 对于不便于用解析式表达, 图象又难以显示准确数据, 表格法就能显示其优越性.,解析法经常

21、需要画图象以分析一些相关性质; 函数图象有时需要建立对应的解析式, 用解析式求所需要的函数变量的其他值; 表格法有时也需转化成图象和近似解析式.,解:,(1),y=3x,定义域: R,值域: R.,(2),定义域:,值域:,xR|x0,yR|y0.,解:,(3),定义域: R,值域: R.,(4),定义域:,值域:,(-, +),y|y-2.,y = -4x+5,-2,5. 已知函数 (1) 点(3, 14)在 f (x)的图象上吗? (2) 当 x=4 时, 求 f (x)的值; (3) 当 f (x)=2时, 求 x 的值.,解:,(1),当x=3时,14,点(3, 14)不在 f (x)

22、的图象上.,(2),当 x=4 时, f (4) =,= -3.,(3),当 f (x)=2时, 即,解关于 x 的方程得 x=14.,6. 若 f (x)=x2+bx+c, 且 f (1)=0, f (3)=0, 求 f (-1) 的值.,解:,由 f (1)=0 得,1+b+c=0,由 f (3)=0 得,9+3b+c=0,解关于 b, c 的方程组得,b= -4, c=3,代入 f (x) 得 f (x)=x2-4x+3, f (-1)=(-1)2-4(-1)+3,=8.,解:,(1) xy=10,得,宽 y 是长 x 的函数.,(2),对角线 d 是矩形长 x 的函数.,(3) l=2

23、(x+y),周长 l 是矩形长 x 的函数.,(4) l=2(x+y),周长 l 是对角线 d 的函数.,9. 一个圆柱形容器的底中直径是 d cm, 高是 h cm, 现在以 v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液, 求容器内溶液的高度 x cm 与注入溶液的时间 t s 之间的函数解析式, 并写出函数的定义域和值域.,x,d,h,v cm3/s,解:,如图,容器内液体体积为,=vt,0 xh,则,即函数的定义域为 值域为0, h.,1.2.2,函数的表示法,第二课时,分段函数,返回目录,1. 什么是分段函数? 它的解析式是怎样表达的?,2. 怎样求分段函数的函数值?,3. 怎样用图象法

24、表示分段函数?,问题. 函数 有几种对应关系? 各 对应关系中的 x 是什么范围? 这个函数的定义域是多少?,这个函数有两种对应关系, 即,y=x-1,这一关系中 x 的取值范围是 x2,y=3-x,这个函数的定义域是(-, +), 在定义域内,函数分为两段表示.,一个函数在其定义域内的不同区间存在不同的对应关系, 这样的函数我们叫分段函数.,这一关系中 x 的取值范围是 x2,例5. 画出函数 y = |x| 的图象.,解:,原函数变形为,函数分为两段表示,当x0时, 解析式为,y = x, (x0),其图象为 y 轴右边的一条射线;,当x0时, 解析式为,y = -x, (x0),其图象为

25、 y 轴左边的一条射线.,3,3,-3,解:,x-1时, 函数是,一次函数, 如图:,-1x2时, 函数是,二次函数, 如图:,x2时, 函数是,正比例函数, 如图:,f(-2)=,-2+2,=0.,f(0)=,02,=0.,f(3)=,23,=6.,例6. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1) 5公里以内 (含5公里), 票价2元; (2) 5公里以上, 每增加5公里, 票价增加 1 元 (不足5公里的按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里, 请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式, 并画出函数的图象.,解:,每 5 公里一个不同的票价, 则把全程按每,5

26、公里的分段.,设里程为 x, 票价为 y, 则解析式为:,2,0x5,3,5x10,4,10x15,5,15x20.,其图象为:,练习: (课本23页),第 2、3 题.,画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域: (1) (2) (3) y = | x-2 | + 1; (4),练习: (补充题),解:,(1),(2),p,练习: (补充题),画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域: (1) (2) (3) y = | x-2 | + 1; (4),定义域:,(0, +).,值域:,1, +).,定义域:,(-, +).,值域:,(1, +).,0,解:,(3),x-1,3-x

27、.,(x2),(x2),原函数变为,练习: (补充题),画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域: (1) (2) (3) y = | x-2 | + 1; (4),定义域:,(-, +).,值域:,1, +).,1,解:,练习: (补充题),(4),x+1 (x0),x-1 (x0),原函数变为,画出下列函数的图象, 根据图象写出定义域和值域: (1) (2) (3) y = | x-2 | + 1; (4),定义域:,(-, 0)(0, +).,值域:,(-, -1)(1, +).,解:,(1),开始离开家, 距离随时间的增加而增加,中途返回家, 距离随时间的增加而减少到 0,又到学

28、校, 距离又随时间的增加而增加.,(1),练习: (课本23页),解:,(2),开始一路匀速, 距离随时间的增加而直线增加,中途遇交通堵塞, 时间增加而距离没增加,堵塞疏通后又匀速前进, 距离又随时间的增加而增加.,(1),(2),练习: (课本23页),解:,(1),(2),练习: (课本23页),(3),开始时缓行, 距离随时间的增加缓慢,后来加速, 距离随时间的增加而增加较快.,(3),解:,(1),(2),练习: (课本23页),(3),(4),我离开家一路小跑, 过一会儿有些累了, 就逐渐放慢,了速度.,(4),3. 画出函数 y=|x-2| 的图象.,解:,原函数变为,【课时小结】

29、,1. 分段函数,一个函数在其定义域内的不同区间存在不同的对应关系, 我们把这样的函数叫分段函数.,2. 分段函数的求值,求分段函数的函数值时, 要根据自变量的所在区间选取对应的解析式.,3. 分段函数的图象,在同一坐标系内, 分各区间画出各对应解析式的图象.,解:,(1),(2),1. 函数 r = f (p) 的图象如图所示, 曲线 l 与直线 m 无限接近, 但永不相交. (1) 函数 r = f (p) 的定义域是什么? (2) 函数 r = f (p) 的值域是什么? (3) r 取何值时, 只有唯一的 p 值与之对应?,解:,(1),函数的定义域是,-5, 02, 6).,(2),

30、函数的值域是,0, +).,(3),r0, 2),在此区间只有唯一的 p 值与 r 对应.,B 组,(5, +),3. 函数 f(x)=x 的函数值表示不超过 x 的最大整数, 例如, -3.5= -4, 2.1=2. 当 x(-2.5, 3 时, 写出函数 f(x) 的解析式, 并作出函数图象.,解:,当 x(-2.5, -2) 时, f(x)=x=,-3;,当 x-2, -1) 时, f(x)=x=,-2;,当 x2, 3) 时, f(x)=x=,2;,当 x=3 时, f(x)=x=,3.,此函数是分段函数, 解析式为,其图象如下:,B 组,4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的

31、P点的距离是 2 km, 从 P 点沿海岸正东 12 km 处有一个城镇.,(1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3 km/h, 步行的速度是 5 km/h, 时间 t (单位: h) 表示他从小岛到城镇的时间, x (单位: km) 表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离. 请将 t 表示为 x 的函数.,解:,设船行的时间为 t1, 步行的时间为 t2, 则,(3t1)2=22+x2,5t2=12-x,整理得,t = t1+t2,(0 x12).,B 组,4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的 P点的距离是 2 km, 从 P 点沿海岸正东 12 km 处有一个城镇.,(2) 如果将船停在距 P 点 4 km 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 1 h)?,解:,当 x=4 时,由(1)得,3 (h),答: 如果将船停在距 P 点 4 km