中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第24课时直角三角形与勾股定理

1、第5章 图形的性质【精学】考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下： BC=ABC=903、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=ADD为AB的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即5、直角三角形等积公式：ABCD=ACBC考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c

2、有关系，那么这个三角形是直角三角形。【巧练】题型一、勾股定理与直角三角形例1（2015大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，AD=，则BC的长为（）A1 B +1 C1 D +1【答案】D【分析】根据ADC=2B，ADC=B+BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长【解答】解：ADC=2B，ADC=B+BAD，B=DAB，DB=DA=，在RtADC中，DC=1；BC=+1故选D【点评】本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题例2（2015毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形

3、的是（）A， B1， C6，7，8 D2，3，4【答案】B【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【解答】解：A、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误；D、22+3242，不能构成直角三角形，故错误故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可题型二、几何图形表面最短路径例3（2015甘肃庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体

4、侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm（结果保留）【答案】【分析】：根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可解答：解：如图所示，无弹性的丝带从A至C，展开后AB=2cm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=cm故答案为：点评：本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想题型三、含30角的直角三角形的运用例4.（2015毕节市）如图，在ABC中，C=90，B=30，AD平分CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=【

5、答案】2【分析】： 根据角平分线性质求出BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD解答： 解：C=90，B=30，CAB=60，AD平分CAB，BAD=30，BD=AD=2CD=2，故答案为2【点评】： 本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键题型四、直角三角形斜边中线的应用例5. （2015江苏宿迁）如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD=5，则EF的长为【答案】5【分析】已知CD是RtABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是ABC的中位线，则EF应等于AB的一半解答：解：A

6、BC是直角三角形，CD是斜边的中线，CD=AB，又EF是ABC的中位线，AB=2CD=25=10cm，EF=10=5cm故答案为：5【点评】：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半【限时突破】1（2016台州）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQAB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A B C D2（2015毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

7、 A， B1， C6，7，8 D2，3，43（2015青岛）如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE=1，则BC=（）AB2C3D+24（2016江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A86B64C54D485. （2016四川达州3分）如图，在55的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角

8、三角形的概率为（）6（2015铜仁市）如图，ACB=9O，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F若BF=10，则AB的长为7（2015枣庄）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于8. （2015东营,）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为【答案解析】1.【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC=，故点M对应的数是：故选：B2.【分析】知道三条边的大小，用较

9、小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【解答】解：A、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误；D、22+3242，不能构成直角三角形，故错误故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可【点评】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出CO的长是解题关键3.分析：根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角BDE中，根据30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得

10、BD长，则BC即可求得解答：解：AD是ABC的角平分线，DEAB，C=90，CD=DE=1，又直角BDE中，B=30，BD=2DE=2，BC=CD+BD=1+2=3故选C点评：本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键4.【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系同理，得出S4、S5、S6的关系【解答】解：如图1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2AB2=AC2+BC2，S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，如图2，S4=S5+S6，S3+S4=16

11、+45+11+14=86故选A5.【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为故选D6.分析：先根据点D是AB的中点，BFDE可知DE是ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论解答：解：点D是AB的中点，BFDE，DE是ABF的中位线BF=10，DE=BF=5CE=CD，CD=5，解得CD=4ABC是直角三角形，AB=2CD=8故答案

12、为：8点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键7.分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可解答：解：如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD=8故答案是：8点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点8.分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得