求轨迹的几种求法.ppt

1、求轨迹的几种方法,“定义法”求轨迹方程,三、定义法,分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.,椭圆的定义：,双曲线的定义：,抛物线的定义：,圆的定义：,|PC|=r (r0),|PF1| + |PF2| = 2a (2a |F1F2|),|PF1| - |PF2| = 2a (0 2a |F1F2|),|PF| = dP-l (Fl),由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程,一、定义法求轨迹方程的特征,二、“定义法”求轨迹方程的一般步骤,一 建轴设点,二 定型,三 定 方 程,四 定 范 围,：定义法,例2已知B，C是两

2、个定点，|BC|8， 且ABC的周长等于18， 求这个三角形的顶点A的轨迹方程,练习：,知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程,答：,14,已,A,C,O,y,x,O1,O2,M,练习：已知两圆C1：(x4)2y2169， C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切， 求动圆圆心的轨迹方程,C,P,相,r,r,13-r,M,1、如图，圆C：(x+1)2+y2=9内一点A(1，0)，与圆 上一动点Q的连线AQ的垂直平分线交CQ于P当Q在圆C上运动一周时，则动点P的轨迹方程为_,问题2,问题2,2、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动

3、点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是 （ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线,【探究1】如图,已知线段AB=4,动圆O与线段AB切于点C,且AC-BC=2 ,过点AB分别作O的切线,两切线相交于P,且PO均在AB同侧,建立适当坐标系,当O位置变化时,求动点P的轨迹E的方程.,【解析】以AB的中点O为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).,想一想:,问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切，同时与圆O2：(x-3)2+y

4、2=9内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线,在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？,已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.,【例题3】,【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， 即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点的轨迹是椭圆， 且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= ， 因此其方程为 （y0）. （2）设圆

5、P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r， 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 因此其方程为,（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4. 方程为y2=-8x.,1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2， 则P点的轨迹方程是_.,2.,3.,【练习3】,【练习3】第3题,【练习3】第3题-变式,16,16,【练习3】第3题-变式,8. (能力题,中)设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点,另有A(1,0),线段A

6、Q的垂直平分线交直线CQ于点P,当点Q在圆上运动时,点P的轨迹方程是_.,解析:设P(x,y),点P是线段AQ垂直平分线上的一点,|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点P的轨迹是以点AC为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b2=3,点P的轨迹方程为 .,方法：利用双曲线的定义求轨迹方程,“直接法”求轨迹方程,题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式.,一、直接法,例3如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为 ,求M的轨迹方程.,A,B,M,y,O,x,方

7、法3：直接法,【例题1】,2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是_.,y2=8x(x0)或y=0(x0),1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是_.,解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得,即 -4x+y2=4|x|,得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0),【练习】,9. (经典题,中)ABC的顶点B(-1,0),C(2,0)若ACB=2ABC,则顶点A的轨迹方程为_.,“待定系数法”求轨迹方程,二、待定系数法,题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p 满足

8、的等式,求得其值,再代入所设方程.,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点P（-6，-3），则抛物线方程为_,【练习2】,“代入法（相关点法）”求轨迹方程,四、代入法（相关点法）,当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。 设所求动点 P坐标 (x,y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.,讲授新课,例1.,y,x,例2、如图，在圆

9、上任取一点P，过点P作 x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时， 线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,分析：点P在圆 上运动，点P的运动引 起点M运动。,解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则 x=x0,y=y0/2. 因为点P (x0,y0)在圆 上，所以 把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得 即 所以点M的轨迹是一个椭圆。,此法实际上是利用中间变量x0,y0求轨迹方程,【例题4】,【练习4】,“参数法”求轨迹方程,五、参数法,如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程

10、.参数法中常选角、斜率等为参数.,【例题5】,倾斜角为450的直线与椭圆 交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹方程。,2. 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹方程。,2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。,解法一：利用韦达定理,解法二：点差法 连PO交CB于G.,设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则,作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2