数学北师大版八年级下册角平分线2.ppt

1、4.2 角平分线,义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册,第一章 三角形的证明,知识回顾,证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程。,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,OC是AOB的平分线,P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分别是D,E， PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,A,O,C,B,P,D,E,知识回顾,1.角平分线的性质定理.,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,PDOA,PEOB,垂足分别 是D,E，且PD=PE,

2、 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,2.角平分线的性质的逆定理.,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC.,用尺规作角的平分线.,作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作射线OC.则射线OC就是AOB的平分线.,作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？,发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点这一点到三角形三边的距离相等,自主预习,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同

3、样的结论？与同伴交流,结论:三角形三个角的平分线相交于一点.,点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可。,命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过P点作PDAB，PFAC，PEBC，其中D、E、F是垂足。 求证： A的角平分线经过 点P，且PD=PE=PF,新知探究,证明： BM是ABC的角平分线,点P在BM上 PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.) 同理：PE=PF PD=PF=PE 点P在A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分

4、线上.) 即 A的角平分线经过,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图,在ABC中, BM,CN,AH分别是ABC的 三条角平分线,且PDAB, PEBC,PFAC(已知), BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.,例.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.,老师期望:你能正确地解答并规范地写

5、出其过程. 完成后与同学交流一下。,如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?,老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有三个。,定 理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 逆定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上. 定 理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).,知识梳理,1.已知:如图,C=900, B=300,AD是RtABC 的角平分线. 求证:BD=2CD.,随堂练习,2.已知:如图,ABC的外角CBDT和BCE的角 平分线相交于点F. 求证:点