信号系统_4-3.4.5PPT课件.ppt

1、4.3.2 部分分式展开法,若F(s)为s的有理分式，则可表示为,式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均为实数。若mn, 则 为假分式。若mn，则 为真分式。,4.3 单边拉普拉斯逆变换,4.3.1 查表法(了解）,1,式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，,若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即,2,则,3,1. F(s)仅有单极点 若A(s)=0仅有n个单根si(i=

2、1, 2, , n)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为,式中，各部分分式项的系数Ki为,4,故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为,由于,5,例 4.3-2 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。,解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2, s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开式为,6,所以,于是得,7,2. F(s)有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，,式中：,8,先求F1(s)的逆变换，因为,由复频移性质，可得,F(s)的单边拉普拉斯逆变换为,9,例 4.3

3、-3 已知求 F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为,10,于是得,11,3. F(s)有复极点,如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，则F(s)可展开为,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 则有,12,由复频移和线性性质得F(s)的原函数为,对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入式(4.3 - 8)， 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。,13,例 4.3-4,已知,求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。,解 F(s)可以表示

4、为,F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2j2, 可展开为,14,于是得,于是得,15,例 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为,式中，F1（s）,由线性和常用变换对得到,由时移性质得,16,例 已知,求F(s)的单边拉氏逆变换。,解 F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可以表示为,对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为,17,由于,因此，根据时域卷积性质得,于是得,18,4.4 连续系统的复频域分析,4.4.1 连续信号的复频域分解,根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)， 则信号f

5、(t)可以表示为,19,4.4.2 基本信号est激励下的零状态响应 若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为yf(t)，冲激响应为h(t)，由连续系统的时域分析可知:,若系统的输入为基本信号，即f(t)=est,则,若h(t)为因果函数，则有,20,式中：,即，H（s）是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性连续系统的系统函数， 称为系统的特征函数。,21,4.4.3 一般信号f(t)激励下的零状态响应,对于-j到+j区间上的任一s，信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为,根据线性系统的齐次性，对于-j到+j区间上的任一s， 为

6、一复数，因此，信号产生的零状态响应可以表示为,22,根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f(t)可以分解为-j到+j区间上不同s的指数信号 的和(积分)，因此，系统对f(t)的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为,即f(t)产生的零状态响应yf(t),23,因为f(t)、h(t)是因果信号，所以yf(t)也是因果信号。 另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，则yf(t)的单边拉普拉斯变换为,24,式(4.4-6)和式(4.4-7)表明， 系统的零状态响应可按以下步骤求解： (1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s); (2) 求系

7、统函数H(s); (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；,25,例 4.4-1 已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-t(t)时，零状态响应yf1(t)=(e-t-e-2t)(t)。若输入为f2(t)=t(t)，求系统的零状态响应yf2(t)。,26,f2(t)的单边拉氏变换为,yf2(t)的单边拉氏变换为,于是得,27,4.5 系统微分方程的复频域解,设二阶连续系统的微分方程为,式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0-)均为零。设初始时刻t0=0

8、, y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对式(4.5-1)两端取单边拉普拉斯变换， 根据时域微分性质，得,28,分别令,29,对式(4.5-4)取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即,30,由于Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为,设n阶边续系统的微分方程为,n阶系统的微分方程为,31,关于响应的初始值需注意以下问题：,于是得,（1）对于n阶线性连续系统，由于y(t)=yx(t)+yf(t), 因此有,32,（2）对于n阶线性连续因果系统，若在t0时yx(t)满足的微分方程相同，则,对于因果系统，若输入f(t)为因果信号，则 一般不等于零，因此得,33,例 4.5-1 已知线性系统