区间估计和假设检验

1、四、单变量推论统计,推论统计就是利用样本的统计值对总体的参数值进行估计的方法. 推论统计的内容主要包括 两个方面: 区间估计 和 假设检验,一.区间估计(Interval Estimation),1. 区间估计的概念 区间估计是指在一定的可信度(置信度)下,用样本 统计值的某个范围(置信区间)来“框”住总体的参数值. 范围的大小反映的是这种估计的精确性问题,而可 信度高低反映的则是这种估计可靠性或把握性的问题. 区间估计的结果通常可以采取下述方式来表述:我 们有95%的把握认为,全市职工的月收入在750元至850 元之间,或者“全市人口中,女性占50%至52%的可能性为 99%.,区间估计中的

2、可靠性或把握性是指用某个区间去估计总体参数值时,成功的可能性有多大.,它可以这样来解释,如果从这个总体中重复抽样 100次,约有95%次所抽 样本的统计值都落 在这个区间, 说明这个区间估计的可靠性为95%. 对于同一总体和同一抽样规模来说 所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性形 成正比. 区间大小所体现的是估计的精确性,区间越大,精确 性程度越低,区间越小精确性越高,二者成反比., 从精确性出发,要求所估计的区间越 小越好,从把握性出发,要求所估计的区间越大 越好,因此人们总是需要在这二者之间进行平 衡和选择. 在社会统计中,常用的置信度分别为90%, 95%和99%.与他们所对应的允

3、许误差()分别 为10%,5%和1%.在计算中,置信度常用1- 来 表示. 以下我们分别介绍总体均值,和总体百分 比的区间估计方法,2.总体均值的区间估计,总体均值的区间估计公式: X Z (1-) 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-) 为置信度是1所对应的 Z 值. n为样本规模. 计算练习: 调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.,S n,(解) 将调查资料带入总体均值的区间估计公式得:,186 Z (10.05) 查表得Z (10.05) = 1

4、.96 （p.358） 所以,总体均值的置信区间为: 186 1.96 得183.2188.74元 当我们希望提高估计的可靠性时就必须相应扩大置信区间.比如我们将置信度提高到99%时,那么,上例中得置信区间又是多大呢?,42900,42 900,Z 检验表,3.总体百分数的区间估计,总体百分数的区间估计公式为: PZ（1） 这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。,P（1p） n,（解）带入公式得：,20%(1-20%) 400 即.16.7-23.3% 而当提高置信

5、度时,比如在95%的置 信度下,置信区间为16.1%和23.9%.可见随着 制度的提高,置信区间进一步扩大,估计的精 确性则进一步降低.,20%1.65,练习题:,从某校随机抽取300名教师进行调查,得出他们的平均年龄为42岁,标准差为5岁,在95%的置信度下,该校全体教师平均年龄的置信区间是多少?,二.假设检验,假设检验是推论统计中的另一种类型.需要 说明的是,这里的假设不是指抽象层次的理论假 设,而是指和抽样手段联系在一起并且依靠抽样 调查的数据进行验证的经验层次的假设,即统计 假设. (一)假设检验及其依据 假设检验实际上就是先对总体的某一参数 作出假设,然后用样本的统计量去进行验证,以

6、决 定假设是否为总体所接受.,1.假设检验的依据,假设检验所依据的是概率论中的“小概率原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而 是一种大概率事件. 后一种意见代表的正是假设检验的基本思想.,2.举例说明假设检验的基本思路,某单位职工上月平均收入为210元,这个月的情况与上月没有大的变化,我们设想平均收入还是210元. 为了验证这一假设是否可靠,我们抽取100人作调

7、查,结果得出月平均收入为220元,标准差位15元. 显然,样本的结果与总体 结果之间出现了误差,这个误差是由于我们假设错误引起的,还是由于抽样误差引起的呢? 如果是抽样误差引起的,我们就应该承认原来的假设,而如果是假设错误引起的,我们就应该否定原假设.,方法:,通过将原假设作为虚无假设,而将与之对 立的假设作为研究假设,然后用样本的数据计算 统计量并与临界值比较. 当统计值的绝对值小于临界值, 即ZZ/2 时则接受虚无假设,否定 研究假设;当统计值的绝对值大于或等于临界值: 即z Z/2 时则拒绝虚无假设,接受研究假设.,3.假设检验的步骤:,建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设.

8、 根据需要选择适当的显著性水(即 小概率的大小).通常=0.05或=0.01等. 根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. 将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.,(二)总体均值的假设检验,某单位职工上月平均奖金为210元,本月调查 了100名职工,平均奖金为220元,标准差为15元,问 该单位职工平均奖金与上月相比是否有变化. (解)首先建立虚无假设 (用H0 表示) 和研究假设 (用H1 表示) ,即有: H0 : =210 H1 : 210 选择显著性水平= 0.05,由Z检验表查得 Z(0.05/2)=1.96,然后根据样本数计算统计值

9、:,公式为: Z= = = 6.67 由于Z=6.67Z (0.05/2) =1.96 所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即 从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月 相比有变化.,X 220210 S/n 15/100,(三).总体百分比的假设检验:,总体百分比的假设检验的基本思路和方法 与总体均值的假设检验相同,只是统计量的计 算公式为 : PP0 Z = P0(1 P0) n 例题:一所大学全体学生中抽烟者的比例为 35%,经过学习和戒烟宣传后,随机抽取100名大 学生进行调查,结果发现抽烟者为25明,问戒烟 宣传是否受到了成效.,（解）1.建立假设,H0 : P0 = 0.35 H1 : P0 0.35 2.选择显著性水平 =0.05,由Z检验表查得Z 0.0