01导数概念.ppt

1、一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,3.1 导数概念,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、引例,设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t) 以t0为起始时刻 物体在t时间内的平均速度为,此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好,因此当t0时 极限,1.直线运动的速度,就是物体在t0时刻的瞬时速度.,下页,求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率,在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成,2.切线问题,当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋

2、向于切线MT,此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率,动画演示,.,首页,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 记为f (x0) 即,下页,设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限,导数的定义,1.函数在一点处的导数与导函数,如果上述极限不存在 则称函

3、数f(x)在点x0处不可导,导数的其它符号,下页,导数的其它定义式,导数的定义式:,注意:,例1 求函数y=x2在点x=2处的导数,解,.,或,.,下页,导数的定义式:,原式,是否可按下述方法作:,解: 原式,导数的定义式:,导数的定义式:,导函数的定义,如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作,提问: 导函数的定义式如何写?,f (x0)与f (x)是什么关系?,下页,导数的定义式:,下页,步骤:,例3 求函数f(x)=C 的导数(C为常数) ,解,即 (C)=0,下页,2.求导数举例,解,例4,解,例5,

4、下页,2.求导数举例,2.求导数举例,例6 求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数,更一般地 有 (x m)=mxm-1(其中m为常数),把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn-1,即(xn)=nxn-1,解,=nan-1,(xn-1+axn-2+ +an-1),下页,2.求导数举例,例7 求函数f(x)=sin x的导数,解,下页,(sin x)=cos x,同理可得(cos x)=-sin x ,2.求导数举例,例8 求函数f(x)=ax(a0 a 1)的导数,解,下页,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x ,(ax)=axln a,特别地有(ex

5、)=ex ,2.求导数举例,例9 求对数函数y=log ax的导数,解,下页,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x ,(ax)=axln a,2.求导数举例,以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.,下页,特别地有,特别地有(ex )=ex ,3.单侧导数,导数与单侧导数的关系,函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数,函数在区间上的可导性,下页,例10 求函数f(x)=|x|在x=0处的导数,导数与单侧导数的关系,因为f -(0) f +(0)

6、,解,所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导,3.单侧导数,首页,三、导数的几何意义,导数 f (x0)在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0 f(x0)处的切线的斜率 即 f (x0)=tan a 其中a是切线的倾角,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) ,法线方程为,下页,解,所求法线方程为,所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即4x+y-4=0,即2x-8y+15=0,下页,首页,例12,设切点的横坐标为x0,解,于是所求切线的方程可设为,已知点(0 4)在切线上 所以,解之得x04,于是所求切线的方程为,则切线的斜率为,四、函数的可导性与连续性的关系,结论

7、如果函数y=f(x)在点x0处可导 则它在点x0处连续,这是因为,应注意的问题: 这个结论的逆命题不成立 即函数y=f(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导,下页,连续但不可导的函数,例14 函数y=|x|在区间(- +)内连续 但在点x=0处不可导,这是因为函数在点x=0处导数为无穷大 ,结束,例15,解:,例. 设, 问 a,b 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,首先函数必须在 x = x0 连续 .,所以有,又,例. 设, 问 a,b 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,首先函数必须在 x = x0 连续 .,所以有,于是有,从而，当 时， 在 处可导,内容小结,1. 导数的