第七章度量空间解析.ppt

1、泛函分析部分,第七章 度量空间和赋范线性空间 第八章 有界线性算子和连续线性泛函,第七章 度量空间和赋范线性空间,1 度量空间的进一步例子,2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间,3 连续映射,4 柯西点列和完备度量空间,6 压缩映射原理及其应用,8 赋范线性空间和巴拿赫空间,泛函分析：是20世纪发展起来的一门新的学科，德国数学家希尔伯特，波兰数学家巴拿赫，匈牙利美国数学家冯.诺依曼，为此做出了主要贡献。,泛函分析研究内容：是函数与数之间的对应关系； 例如：定积分就是一个泛函。 算子：函数空间和函数空间的对应关系。 例如：微分就是一个算子。,引言：,1 度量空间的进一步例子,度量空间（距离空间

2、）： 把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。,泛函分析中的度量空间（距离空间）： 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。,1、度量空间,设 是一个集合，若对于 中任意两个元素 ,都有唯一确定的实数 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：,1 的充要条件为,2 对任意的 都成立，,则称 是 之间的距离，称 为度量空间或距离空间。 中的元素称为点。,称为点 的 邻域， 称为邻域的中心， 称为邻域的半径。,2、常见的度量空间,（1）n维欧式度量空间,（2）

3、离散的度量空间,设 是任意的非空集合，对 中的任意两点 ，令,称 为离散的度量空间。,（3）序列空间S,令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中的任意两点,令,称 为序列空间。,设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点 ，定义,设 为X上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及,（4）有界函数空间B(A）,（5）可测函数空间,由于 ，所以这是X上的可积函数。令,（4）有界函数空间B(A）,令 表示闭区间a,b上实值（或复值）连续函数全体，对 中任意两点 ，定义,（6） 空间,（6） 空间,设 ，定义,设 是

4、 中点列，如果存在 ，使 则称点列 是 中的收敛点列， 是点列 的极限。,2 度量空间中的极限、稠密集、可分空间,1、收敛点列,收敛点列性质：,（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。,2、收敛点列在具体空间中的意义,（2）M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。,（1）n 维欧式空间中：,为 中的点列，,即： 按欧式距离收敛于 的充要条件是 依坐标收敛于,（2）序列空间S中：,为 中的点列，,设 及 分别为 中的点列及点，,（3） 空间,（4）可测函数空间,设 及 分别为可测函数空间中的点列及点，,3、有界集,设M是度量空间 中点集，定义 为点

5、集M的直径，若 ，则称M为 中的有界集。,常用结论：度量空间中的收敛点列是有界点集。,4、稠密集，可分空间,（1）设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果 ，那么称集M在集E中稠密。,等价定义： 如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。,（2）当E=X时，称集M为X的一个稠密子集。,（3）如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。,对任一 ，有M中的点列 ，使得,例题 1：（1）多项式全体所成的线性空间P是度量空间 的子集，则P在 中是稠密的。其中，以有理数为系数的多项式全体是一个可数集，所以 是可分空间。,（2）n 维欧式空间 是可分空间

6、，因为坐标为有理数的全体是一个可数集，是 中的稠密子集。,(3) 为可分空间。,(4) 为不可分空间。,表示有界实（或复）数列全体，对 中任意两点 定义 则 按 成为度量空间。,3 连续映射,回忆函数的连续性？,1、度量空间中的连续性,设 ， 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, 如果对于任意给定 ，存在 ，使对X中一切满足 的 ，成立 则称T在 连续。,设T是度量空间 到 中的映射，那么T在 连续的充要条件为当 时，必有,连续性的极限定义,2、连续映射,如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射。,称集合 为集合M在映射T下的原像。,定理： 度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的

7、充要条件为Y中任意开集M的原像 是X中的开集。,4 柯西点列和完备度量空间,1、柯西点列,设 是度量空间， 是X中点列，如果对任何事先给定的 ，存在正整数 ，使当 时，必有,则称 是X中的柯西点列或基本点列。,在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。,2、完备的度量空间,如果度量空间 中每一个柯西点列都在 中收敛，则称 是完备的度量空间。,子空间完备性定理,完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。,例题 1： 及 是完备度量空间,例题 2：n维欧几里的空间是完备度量空间,例题 3： 是

8、完备度量空间,等距同构映射,设 是两个度量空间，如果存在 到 的保距映射 ，即 ，则称 和 等距同构，此时 称为 到 上的等距同构映射。,6 压缩映射原理及其应用,1、压缩映射,设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数 ， ，使得对所有的 ，成立 则称T是压缩映射。,几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短 倍的映射。,2、不动点,设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 ，使得 ，则称 为映射T的不动点。,设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。,3、压缩映射定理,完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。,注： 定理中的度量空间的完备条件不能去掉。 完

9、备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的唯一性，并不依赖于X的完备性。,压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 必有,8 赋范线性空间和巴拿赫空间,设X是实（或复）的线性空间，如果对于每个向量 ，有一个确定的实数，记为 与之对应，并且满足：,1、赋范线性空间,1 且 等价于,2 其中 为任意实（或复）数；,3,则称 为向量 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。,类似于普通向量的长度,依范数收敛于 等价于 按距离收敛于,2、关于极限的定义（依范数收敛）,设 是X中一点列，如果存在 ，使 则称 依范数收敛于 ，记为 或,3、赋范线性空间的性质,1赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。,如果令 可以验证 是X上的距离。,称 为由范数 导出的距离。,度量和线性结构之间的协调性：,欧式空间 按