北京市海淀区高三数学理科二模试卷及(WORD版)

1、北北京京市市海海淀淀区区 20122012 高高三三二二模模 数数 学（理科）学（理科） 2012.052012.05 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. . （1）若sincos 0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B x 两点，点O是坐标原点. 给出三个命题：PA = PB；OAB的周长有最小值4+ 2 2；曲线C上 存在两点M,N，使得OMN为等腰直角三角形其中真命题的个数是

2、（A）（B）（C）（D） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共6 6小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共3030分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. . （9）在面积为 1 的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大于等于 （10） 已知(x 1)10 a 1 a 2 x a 3x 2L a 11x 10. 若数列a 1,a2 ,a 3 ,L ,a k (1k 列，则k的最大值是. （11）在ABC中，若? A （12）如图，e O的直径AB与弦CD交于点P， 1 的概率是_ 4 11,k ? Z Z)是一个单调递增数 120?，c= 5，ABC的面积为5 3，

3、则a= . D 7 CP =, PD= 5, AP = 1，则DCB_. 5 （13）某同学为研究函数f (x)= A C O P B 1+ x2+1+ (1- x)2(0 x1)的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP = x，则AP+ PF = f (x). 请你参考这 些信息，推知函数f (x)的图象的对称轴是；函数 DC P F g(x) = 4 f (x)- 9的零点的个数是. （14）曲线C是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线 ABE x= - 1的 距 离 之和为 3 的动点P的轨迹. 则曲线C与y轴交点的坐标是；

4、又已知点B(a,1)（a为常数） ，那么 PB + PA的最小值d(a)= . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . （15） （本小题满分 13 分） 已知公差不为的等差数列an的前n项和为Sn，S3= a4+ 6，且a1,a4,a 13 成等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求数列 1 的前n项和公式. Sn (16)（本小题满分 14 分） 如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，? CBA30?，PA= AB= 2，点 AB上，且OM

5、AC E 为线段 PB 的中点，点M在 （）求证：平面MOE平面PAC； （）求证：平面PAC平面PCB； （）设二面角M BPC的大小为，求cos的值 (17)（本小题满分 13 分） 某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务，现有A,B 两个项目可供选择： (1)投资 A 项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示： X1 P 11 a 12 0.4 17 b P E C A M B O 且 X1的数学期望 E(X1)=12； (2)投资 B 项目一年后获得的利润X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4 月和 8 月决定是否需要调整，

6、 两次调整相互独立且在4 月和 8 月进行价格调整的概率分别为p(0 p 1)和 1p. 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X(次)与 X2的关系如下表所示： X(次) X2(万元) （）求 a,b 的值； （）求 X2的分布列； （）若 E(X1) E(X2)，则选择投资 B 项目，求此时 p 的取值范围. (18)（本小题满分 13 分） 0 4.12 1 11.76 2 20.40 2x2y2 )在椭圆C上. 已知椭圆C: 2 2 1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，且点(1, 2ab （）求椭圆C的标准方程； uuu r uuu r 7 （）已知动直线l过点F，且与椭圆

7、C交于A，B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得QAQB 16 恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (19)（本小题满分 14 分） 已知函数f (x) aln(xa) （）求f (x)的单调区间； （）若1 a 2(ln21)，求证：函数f (x)只有一个零点x0，且a 1 x0 a 2； （ ） 当a 1 2x x(a 0). 2 4 时 ， 记 函 数f (x)的 零 点 为x0， 若 对 任 意x1,x20,x0且x2 x11,都 有 5 f (x 2 ) f (x 1) m 成立，求实数m的最大值. （本题可参考数据：ln2 0.7, ln (20)（本小题满分

8、13 分） 将一个正整数n表示为a1+ a2+ L + a p (p ? N N*)的形式，其中a i N N*，i = 1,2,L , p，且 99 0.8, ln 0.59） 45 a 1 a 2 a p ，记所有这样的表示法的种数为f (n)（如 4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1， 故f (4) 5）. （）写出f (3), f (5)的值，并说明理由； （）对任意正整数n，比较f (n1)与 f (n) f (n 2)的大小，并给出证明； （）当正整数n 6时，求证：f (n) 4n 13 1 2 海淀区高三年级第二学期期末练习 数数学学（理科） 参考

9、答案及评分标准参考答案及评分标准201220120505 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 题号 答案 （1） D （2） A （3） D （4） B （5） C （6） A （7） A （8） C 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共6 6小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共3030分分. . （9） 1 （10）（11）61（12）45 2 a2- 2a+ 2, a?1.4或a? 1, 1 （13）x =；2（14）(0,3)； a+ 4,- 1.4 a?1, 2 2- a,- 1 a 1

10、. 注： （13） 、 （14）题第一空3分；第二空2分. 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共6 6小题，共小题，共8080分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . （15） （本小题满分 13 分） 解： （）设等差数列a n的公差为 d 0. 因为S3= a4+ 6， 所以3a 1 + 3创2d = a 1 + 3d + 6.3 分 2 因为a1,a4,a13成等比数列， 2 所以a 1(a1 + 12d) = (a 1 + 3d).5 分 由，可得：a 1 = 3,d = 2. 6 分 所以an= 2n+ 1.7 分 （）由an

11、= 2n+ 1可知：S n = (3+ 2n+ 1)? n = n2+ 2n. 2 9 分 所以 111 11 =(-). 11 分 S n n(n+ 2)2 nn+ 2 11111 + L + S 1 S 2 S 3 S n-1 S n 所以 = 1 1111111111 ( -+- +-+ L +-+-) 2 132435n- 1n+ 1nn+ 2 1 11113n2+ 5n =( +-)= . 2 12n+ 1n+ 24(n+ 1)(n+ 2) 3n2+ 5n1 所以数列的前n项和为. 4(n+ 1)(n+ 2)S n 13 分 (16)（本小题满分 14 分） （）证明：因为点 E 为

12、线段 PB 的中点，点O为线段AB的中点， 所以 OEPA .1 分 因为 PA 平面PAC，OE 平面PAC， 所以 OE平面PAC. 2 分 因为 OMAC， 因为 AC 平面PAC，OM 平面PAC， 所以 OM平面PAC. 3 分 因为OE 平面MOE，OM 平面MOE，OEI OM = O， 所以 平面MOE平面PAC.5 分 （）证明：因为 点C在以AB为直径的O上， 所以 ?ACB90?，即BC AC. P z 因为PA平面ABC，BC平面ABC， 所以 E C D A xM B O y PA BC. 7 分 因为 AC 平面PAC，PA平面PAC，PAI AC = A， 所以

13、BC 平面PAC. 因为 BC 平面PBC， 所以 平面PAC平面PCB.9 分 （） 解： 如图， 以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴， 建立空间直角坐标系C xyz 因为 ?CBA30?，PA= AB = 2， 3，AC = 1. 所以 CB = 2cos30 ? 延长MO交CB于点D. 因为 OMAC， 所以 MD CB, MD = 1+ 1313 =,CD =CB = . 2222 33 ,0). 22 所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,3,0)，M( , uuu ruuu r 所以CP = (1,0,2)，CB = (0,3,0). 设平面PCB的法

14、向量m m= (x, y,z). uuu r m m?CP 因为uuu r m m?CB 0, 0. (x, y,z)?(1,0,2)0,x+ 2z = 0, 所以即 (x, y,z)?(0, 3,0)0, 3y = 0. 令z = 1，则x = - 2, y = 0. 所以m m= (- 2,0,1).12 分 同理可求平面PMB的一个法向量 n n 1, 3,1. 13 分 所以 cos m m,n n m mn n1 . m m n n5 所以cos= 1 .14 分 5 (17)（本小题满分 13 分） 解： （）由题意得： a0.4b 1, 11a120.417b 12. 解得：a

15、= 0.5,b = 0.1.3 分 （）X2的可能取值为4.12,11.76,20.40. PX 2 4.12 (1 p)1(1 p) p(1 p) ， PX 2 11.76 p1(1 p)(1 p)(1 p) p2(1 p)2 ， PX 2 20.40 p(1 p) . 所以 X2的分布列为: X24.1211.7620.40 Pp (1p)p2+(1p)2p (1p) 9 分 （）由（）可得：EX 2 22p (1 p) 4.12p(1 p)11.76 20.40p(1 p) p2 p11.76 因为 E(X1) E(X2)， 所以12 - p2+ p+ 11.76. 所以0.4 p 0.

16、 2t y + y = - , 12 2t + 2 10 分 1 y 1 y 2 = - 2 . t + 2 因为 x 1 = ty 1 + 1，x 2 = ty 2 + 1， 511 , y 2 )= (ty 1 -)(ty 2 -)+ y 1 y 2 444 11 = (t2+ 1)y 1 y 2 -t(y 1 + y 2 )+ 416 所以(x 1 - = - (t + 1) 2 5 , y 1)?(x2 4 112t1 +t+ t2+ 24 t2+ 216 - 2t2- 2+ t2 17 += -= . 22(t + 2)1616 uuu r uuu r 57 综上所述：在x轴上存在点

17、Q( ,0)，使得QAQB 恒成立. 416 13 分 (19)（本小题满分 14 分） （）解：f (x)的定义域为(a,). ax2(a1)x f (x) x1 .1 分 xaxa 令f (x) 0，x 0或x a+1. 当1 a 0时，a+1 0，函数f (x)与f (x)随x的变化情况如下表： x(a,0) 0 0 极小值 (0,a1) a 1 0 极大值 (a1,) f (x) f (x) Z 所以，函数f (x)的单调递增区间是(0,a+ 1)，单调递减区间是(a,0)和(a+ 1,+ ? ). 3 分 x2 0. 所以，函数f (x)的单调递减区间是(- 1,+ ? ). 当a=

18、 - 1时，f (x) x1 4 分 当a 1时，a+1 0，函数f (x)与f (x)随x的变化情况如下表： x(a,a1) a 1 0 极小值 (a1,0) 0 0 极大值 (0,) f (x) f (x) Z 所以，函数f (x)的单调递增区间是(a+ 1,0)，单调递减区间是(a,a+ 1)和(0,+ ? ). 5 分 （）证明：当1 a 2(ln2 1)0时，由（）知， f (x)的极小值为f (0)，极大值为f (a1). 因为f (0) aln(a) 0，f (a 1) 是减函数， 所以f (x)至多有一个零点.7 分 又因为f (a2) aln2 11 且f (x)在(a+ 1

19、,+ ? )上(a 1)2(a 1)(1 a2) 0， 22 1 2 1 a a aa2(ln21) 0， 22 所以 函数f (x)只有一个零点x 0 ，且a 1 x 0 a 2. 9 分 （）解：因为1 4 2(ln21)， 5 所 以对 任 意x 1,x2 0,x 0 且x 2 x 1 1,由 ( ) 可 知 ：x 1 0,a 1)，x 2 (a 1,x 0 ， 且 x 2 1.10 分 因为 函数f (x)在0,a+ 1)上是增函数，在(a+ 1,+ ? )上是减函数， 所以f (x 1) f (0)，f (x 2 ) f (1).11 分 所以f (x 1)- f (x2 )? f (0) 当a f (1). 4a1491 时，f (0) f (1) aln()=ln0. 5a 12542 f (1) 0.13 分所以f (x 1)- f (x2 )? f (0) 491 ln. 542 491 所以 使得f (x 2 ) f (x 1) m 恒成立的m的最大值为ln. 542 所以f (x 2 ) f (x 1) 的最小值为f (0) f (1) 14 分 (20)（本小题满分 13 分） （）解：因为 3=3，3=1