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1、第四章 样本及抽样分布,引言 随机样本 抽样分布,4.1 随机样本一、总体与样本,1. 总体(p112):研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。,从本质上讲,总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。,2. 样本(p112) :来自总体的部分个体X1, ,Xn ,如果满足:,(1)同分布性: Xi,i=1,n与总体同分布. (2)独立性: X1, ,Xn 相互独立; 则称为容量为n 的简单随机样本,简称样本。 而称X1, ,Xn 的一次实现为样本观察值,记为x1, ,xn,来自总体X的随机样本X1, ,Xn可记为,显然,样本联合分布函数或密度函数为(p113
2、),或,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,?,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值,去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本观察值的规律,因而可以用样本观察值去推断总体.,二、统计量,定义(p113):称样本X1, ,Xn 的函数 g(X1, ,Xn )是总体X的一个统计量, 如果 g(X1, ,Xn )不含 未知 参数.,几个常用的统计量 :,3.样本k阶矩(p113),4.2 抽样分布,一、 2分布(p114),统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布: 2分布、 t 分布和F分布。,2
3、.2分布的密度函数f(y)曲线(p114),3. 分位点 设X 2(n),若对于:01, 存在,满足,则称,为,分布的上分位点。,P220附表3,如:,4.性质:(p114) a.分布可加性 若X 2(n1),Y 2(n2 ), X, Y独立,则 X + Y 2(n1+n2 ) b.期望与方差 若X 2(n),则 E(X)= n,D(X)=2n,1.构造 若N(0, 1), 2(n), 与独立,则,t(n)称为自由度为n的t分布。,二、t分布,t(n) 的概率密度为(p115),2.基本性质(p115): (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数
4、,即,3.分位点 设Tt(n),若对 :01,存在t(n), 满足PTt(n)=, 则称t(n)为t(n)的上侧分位点,P219附表2,注:,如:,三、F分布,1.构造 若1 2(n1), 22(n2),1, 2独立,则,称为第一自由度为n1 ,第二自由度为n2的F分布,其概率密度为(p116),2. F分布的分位点 对于:00, 满足 PFF(n1, n2)=, 则称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点;,证明: 设FF(n1,n2), 则,注:,得证!,补充:设UN(0,1),若对 :00, 满足PUU()=, 则称U()为标准正态分布的上侧分位点 显然,U(),4.3 正态总体的抽样分布定理,证明:,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,(1),(2)证略。以下证明(3) :,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,(P117),例1:设总体XN(10,32), X1, ,Xn是它的一个样本,(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).,解: 1) XN(10,32),E(z)=E(Xi)=61060 D(Z)=D(Xi)=632 54,2) ZN(60,54),,例2:设X1, ,X10是取自N(0,0.32)的样
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