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1,第四节 泊松方程,泊松方程,是非齐次的拉普拉斯方程,与时间t无关，不能应用冲量定理，但可以采用特解法来求解,即先不管边界条件，找到任意一个方程的特解v，然后，令,即泊松方程转换成拉普拉斯方程！,例1,在圆域,上求解泊松方程边值问题,解：,先找到一个特解，就可以转化为齐次方程来求解,Uvw，就把问题转换为求解w，而对于w来说,2,对称可取,又,方程特解为：,令,就转换成w的定解问题,在极坐标系中，用分离变数法求解拉普拉斯方程的结果如下：,3,对于w来说，应该处处有界，但,在圆心处为无限大,不符合条件，予以排除，故：,代入边界条件,比较系数可得,方程的一般解为：,4,例2,在矩形域,上求解泊松方程的,边值问题,解：,先找泊松方程的特解v，显然vx2满足方程,则v=-x2+c1x+c2(c1和c2为积分常数)也满足,可以选取,适当的c1和c2使得v满足齐次边界条件，c1a,c2=0,则：,令,代入定解问题可得,关于w的定解问题如下：,5,满足（1）（2）的解可表示为：,为确定系数An和Bn，上式代入边界条件（3）,并把右边也展开成傅里叶正弦级数,6,其中,代入,并比较系数,由此可解得,7,回代,可得,对于n2k（k1，2）Cn0，对于n2k1（k=1,2）,可得：,8,最后，可得泊松方程的一般解为：,回顾：先求泊松方程的一个特解，然后求齐次 方程（拉普

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