利用勾股定理解决平面几何问题

1、17.1.2勾股定理应用利用勾股定理解决平面几何问题,南昌三中 成效,一复习提问,勾股定理的内容是什么?,A,C,B,勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,a,b,c,两点之间,线段最短,二、新课导入,从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由,例1在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？,问题情境,利用勾股定理解决平面几何问题1最短路径问题,以小组为单位,研究蚂蚁爬行的最短路线,合作探究,怎样计算AB？,在RtAAB中，利用勾股定理可得:,侧面展开图,其中AA是圆柱体的高,AB是底

2、面圆周长的一半(r) ,若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3，则:,侧面展开图,用所学数学知识去解决实际问题的关键：,根据实际问题建立数学模型；,具体步骤：,1. 审题分析实际问题； 2. 建模建立相应的数学模型； 3. 求解运用勾股定理计算； 4. 检验是否符合实际问题的真实性,方法提炼,练习1.如图:在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在G处，恰好有两只蚂蚁路过A处（A在G的对面），它们的触角同时准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它们迫不急待的想从A处爬向G处。,A,B,C,D,E,F,G,H,3,2,4,蛋糕,求蚂蚁爬行的最短路径的长度

3、？,下右,正右,正上,分组计算,A,B,F,E,G,H,3,4,2,正面,上面,解：当蚂蚁经过正面和上面时，如图，最短路径为,回5,正面,右侧面,A,B,E,F,C,G,3,2,4,解：当蚂蚁经过正面和右侧面时，如图，最短路径为,下底面,右侧面,A,B,D,C,F,G,3,4,2,解：当蚂蚁经过下底面和右侧面时，如图，最短路径为,回5,最短路径的长度为,利用勾股定理解决平面几何问题2图形面积问题,（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示那么S1，S2，S3之间有什么关系； （2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1

4、，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系； （3）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系； （4）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？,探究,探究 如图，以Rt,的三边为边向外作正方形，其面积分别为 、 、,，请同学们想一想,、 、 之间有何关系呢？,A,B,C,a,b,c,+ =a2+b2,=c2,a2+b2=c2,a,b,c,探究S1、S2、S3之间的关系,由勾股定理得 a2+b2=c2,S2+S3=S1,

5、动手操作：例2如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为_ .,S阴影=S半圆AC+S半圆BC+SABC-S半圆AB,24,1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.,=625,=144,快速抢答,2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是_平方厘米,64,例3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求: (1)CF (2)EC.,A,B,C

6、,D,E,F,8,10,10,6,X,8-X,4,8-X,利用勾股定理解决平面几何问题3折叠中的计算问题,在RtABF中,BF=,FC =4cm,设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm,EF2=EC2+FC2, （8-x）2 = x2+42,解得x=3,CF =4cm，EC=3cm,能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）,小试牛刀,练习1、（泰安市中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）,解：设CE=x，由题意可得 AE=CE=x BC=OC=OA=3,能算好算直接算，不

7、能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）,利用勾股定理解决平面几何问题3折叠中的计算问题,例题4、如图在三角形ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点（点M不与点B、C重合），MD垂直AB，ME垂直AC，垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_cm,利用勾股定理解决平面几何问题4直角三角形问题,解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法,利用勾股定理解决平面几何问题4直角三角形问题,温馨提示：有题无图，莫犯糊涂,三、当堂检测：小试牛刀,练习1,练习2,练习3,甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙

8、出发，他以5 km/h的速度向正北行走上午10：00，甲、乙两人相距多远？,小试牛刀,练习1,练习2,练习3,解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点则：,AB=26=12(km),AC=15=5(km),在RtABC中,BC=13(km) ,即甲乙两人相距13 km.,2如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离,小试牛刀,练习1,练习2,练习3,解:,答：沿AB走最近，最近距离为25 ,3有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？,小试

9、牛刀,练习1,练习2,练习3,你能画出示意图吗?,解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:,最短时:,最长是2.5+0.5=3(m) ,答:这根铁棒的长应在23m之间,最短是1.5+0.5=2(m) ,小试牛刀,练习1,练习2,练习3,1如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？,四、举一反三,两条线路,看明白了吗?,举一反三,1如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20

10、s内从A爬到B？,中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 !,2在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,举一反三,设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，,在直角三角形ABC中，BC=5尺,由勾股定理得:BC2+AC2=AB2,即 52+x2=(x+1)2,25+x2= x2+2x+1，,2x=24，, x=12， x+1=13 ,答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺,举一反三,解：,能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）,2.右