自动控制理论 翁思义第二章 自动控制系统的数学模型.ppt

1、第二章自动控制系统的数学模型,系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式,微分方程、拉氏变换和传递函数,典型环节及其传递函数,电气环节的负载效应及其传递函数,常规控制器的基本控制规律、动态特性和实现方法,引 言,数学模型的定义:,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式,建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识）,类型：动态模型、静态模型,动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等,白箱法,黑箱法,第一节 微分方程、拉氏变换和传递函数,一、 微分方程的建立 方法与步骤总结: （1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出元件微分方程； （3）消去中

2、间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）整理，输入量项=输出量项。,例 编写RC 电路微分方程,（1）确定输入、输出量为ui 、u0,（2）根据电路原理列微分方程,（3）消去中间变量，可得电路微分方程,这是一个线性定常一阶微分方程。,例：写出RLC串联电路的微分方程。,例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有,式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力,比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程,相似系统：同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统， 这些系统具有相同的输入输出特

3、性； 对于不同的实际系统，只要其数学描述相同，则 分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。,1、定义：设函数f(t)当t=0时有定义，而且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。记为: f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：,二.拉氏变换,线性性质：,微分定理：,积分定理：（设初值为零）,时滞定理：,初值定理：,2、性质：,终值定理：,几个重要的拉氏变换,3、微分方程的求解,方法步骤 （1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换； （2）求出输出量的拉氏变换表达式； （3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解.,例2：求解微分方程,这个推导属配方法和查表法，心中

4、要有公式,解.,解.,三、传递函数,1、传递函数的定义：,线性定常系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变 换与输入信号的拉氏变 换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 其中 y 为系统输出量，r为系统输入量,mn 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：,传递函数的零点,为传递函数的极点,移项后得：,上式中Y(s)输出量的拉氏变换；R(s)输入量的 拉氏变换； G(s) 为系统或环节的传递系数。,传递函数的两种表达形式,a.传递函数的零极点表示形式为,b.传递函数的时间常数表示形式,2、传递函数的性质,传递函数的概念只适应于线性定常系统。 传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。

5、 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。( mn) 只能描述一个输出与一个输入之间的关系。 许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。,3.传递函数的求法,例1 RC电路,（1）当u1为输入，u2为输出时：,(1) 根据微分议程求传递函数,例2 RLC电路,取ur为输入，uc为输出,系统微分方程为：,零初始条件下，对上式进行拉氏变换得：,（2） 无源网络的传递函数求取-复阻抗法,无源网络通常由电阻、电容和电感组成。,复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有,电阻R的复阻抗为: ZR=R,电容C的复阻抗为: ZC=1/CS,电感L的复阻

6、抗为: ZL=LS,C,u(t)= i (t)R,i(t)=,i(t)=,i(t)=,电阻、电容、电感的复阻抗,例题: 求下图所示电网络的传递函数G(S)。,C2,R2,R1,C1,u1,u2,解： 将电源等效为复阻抗电路, Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）；,Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+1）/C2S；, G(S) =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2）,=（R1C1S+1）（R2C2S+1）/（R1C1S+1）（R2C2S+1）+ R1C2S,注：请用“传递函数定义法”求解该例题。,第二节、典型环节及其传递函数,典型环节有比例、积分、惯性、振荡、

7、微分和延迟环节等多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性研究系统的零极点分布。,比例环节又称为无惯性环节。k为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,典型电路,二、积分环节：,积分环节实例：,R,C,理想微分,一阶微分,二阶微分环节,特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能,注：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常加惯性环节,三、微分环节,典型电路,式中,式中：,实例,微分环节实例,四、惯性环节,当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得： ，式中：k为放大系数，T为时间常数。,惯性环节实例

8、很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数,式中,惯性环节实例,两个实例：,惯性环节实例,五、振荡环节：,时域方程：,传递函数：,上述传递函数有两种情况：,当 时，可分解为两个惯性环节相乘。 即：,传递函数有两个实数极点：,振荡环节分析,分析：y(t)的响应过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动。与 有关。 反映系统的阻尼程度，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率。当 时，曲线单调上升,无振荡。当 时，曲线衰减振荡。 越小，振荡越厉害。,若 ，传递函数有一对共轭复数极点。传函可写成：,对阶跃输入：,解： 当 时，有一对共轭复数极点。所以：,解得：,例：求质量-弹簧-阻

9、尼系统的 和 。,振荡环节例子,其传递函数为：,六、延迟环节：,又称时滞，时延环节。它的输出是经过一 个延迟时间后，完全复现输入信号。,第三节 电气环节的负载效应及其传递函数,2.无负载效应的环节：环节是组成控制系统的基本功能单位；如果环节的输出信号仅决定于输入信号及环节本身的结构和参数，而与环节的外接负载无关，则称为无负载效应的环节；反之，如果缓解的输出信号还受外接负载的影响，则称为有负载效应的环节。,一、负载效应：,1.负载效应：环节的负载对环节传递函数的影响，称为负载效应。,3.加载隔离放大器可消除环节间的负载效应。,二、复阻抗,由电路中的无源元件或有源元件构成的环节，称为电气环节。,电

10、阻R的复阻抗为: ZR=R,电容C的复阻抗为: ZC=1/CS,电感L的复阻抗为: ZL=LS, 复阻抗法: 依据电路理论利用复阻抗直接求得传递函数。,电气环节的数学模型建立方法：,大多数运算放大器是由下述三个元件的电路连接成一个系统： 具有高放大系数、高输入阻抗和低输出阻抗的反相放大器； 由外接阻抗构成的输入回路； 由外接阻抗构成的反馈回路。,三、由运算放大器构成的环节,运算放大器为无负载效应的环节,1.反号器,2.比例器,由运算放大器构成的环节,由运算放大器构成的环节,3.加法器,4.积分器,由运算放大器构成的环节,5.微分器,6.实际微分环节,第四节 发电机励磁控制系统及其传递函数,注意

11、：图230（43页）,第五节 系统方框图的等效变换和信号流图及梅森公式,一、方框图和方框图的等效变换,1.方框图,在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即方框图和信号流图。,方框图又称动态结构图，是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。,方框图的组成,2、方框图的等效变换和简化,典型连接方式及等效变换,（1）串联及等效,（2）并联及等效,（3）反馈及等效,R(s),Y(s),（4）引出点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,（5）综合点的移

12、动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,相邻综合点之间可以随意调换位置,注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,二、信号流图,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成,（一）信流图的基本术语,1、输入节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为点源节点。 2、输出节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为陷点。,3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。,4、通路：从某一节点开始沿支

13、路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路。 5、开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。 6、闭通路：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回路。 7、回路增益：回环中各支路传输的乘积称为回路增益。 8、前向通路：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向通路增益。 9、不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。,（二）信号流图的性质,（1）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；,（2）节点上可把所有输入支路的信

14、号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；,（3）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；,（4）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。,（三）信流图的绘制,1、由方程组绘制信流图,首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。,绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路。,2、由系统结构图绘制信号流图,例2.设某系统的方框图如图所示，绘制信号流图,三、及梅逊公式,为从源接点到阱接点的传递函数（或

15、总增益）； 为从源接点到阱接点的前向通路总数； 为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益； 为流图特征式； 为流图余因子式；,为所有单回路增益之和； 为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和； 为每三个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和； 等于流图特征式中除去与第 条前项通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。,例1. 用Mason公式求传递函数,前向通路,无不接触回路,回路,例3. 用Mason公式求传递函数,前向通路：,回路：,不接触回路：,L1L3 , L1L4 , L2L3 , L2L4 , L3L5 , L4L5,第五节常规控制器的基本控制规律、动态特性和

16、实现方法,直到现在，比例积分微分(Propotional Intigrate Differential, PID)控制由于它自身的优点仍然是应用最广泛的基本控制方式。优点有：,(1)原理简单，使用方便。,(2)适应性强。,(3)鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性 的变化不太敏感。,一个大型的现代化生产装置的控制回路可能多达一二百甚至更多，其中绝大部分都采用PID控制。,一、常规控制器的类型及动态特性,在反馈控制系统中，控制器和被控对象构成一个闭合回路。两种情况：正反馈和负反馈： 正反馈加剧被控对象流入量和流出量的不平衡，从而导致控制系统不稳定； 负反馈则是缓解对象中的不平衡，这样才能正确地达

17、到自动控制的目的。,自动控制系统由被控对象和控制器组成。,1.比例控制器（P控制器）,比例控制是指控制器输出的控制信号(t)与其偏差输入信号e(t)成比例，即,工程中还习惯用增益的倒数表示控制器输入与输出之间的比例关系,比例控制的特点,动作快，能使过程较快的达到稳定,有差控制：处于自动控制下的被控过程在进入稳态后，被控量不可能与给定值绝对相等，它们之间一定有偏差。,静态偏差随着比例带的加大而加大，尽量减小比例带。然而，减小比例带就等于加大控制系统的开环增益，容易导致系统激烈振荡甚至不稳定。,2.比例积分(PI)控制器,利用P控制快速抑制干扰，利用I控制消除静态偏差。动态方程：,传递函数：,阶跃

18、响应曲线如图所示。,积分控制作用的特点是能使控制过程为无差控制,PI控制引入积分消除静态偏差的同时，降低了系统的稳定性。 为保持原来的衰减率，PI控制器的比例带必须适当加大。 即：牺牲一定的动态品质以换取好的稳定性。,3.比例微分（PD）控器,PD控制规律的动态方程：,因理想微分物理上无法实现。实际上采用的PD控制器传递函数是：,传递函数：,PD控制器的阶跃响应为,响应曲线如右：,稳态时，de/dt=0，PD控制器的微分部分输出为零。与P控制一样，PD控制也是有差控制。,4.比例积分微分控制（PID）器,描述PID控制规律的动态方程：,传递函数：,比例积分微分调节器有三个可以调整的参数、Ti和T