第三章矩阵的运算 10-11年 .ppt

1、第三章 矩阵的运算,35 初等矩阵,31 矩阵的概念及运算,32 几种特殊的矩阵,34 分块矩阵,33 矩阵的逆,36 矩阵的秩,矩阵的运算,一、矩阵的定义,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 阵.,记作A、B、C等,31 矩阵的概念及运算,矩阵的定义,例1 (运输问题),某类物质有m个产地,n个销地,调运方案如下:,矩阵的定义,例2 某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干条航线 ,如 图所示表示了四城市间的航班 图,如果从A到B有航班,则用带 箭头的线连接 A与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,矩阵的定义,发站,到站,矩阵的定义,这个数表反映了四城市间交通联

2、接情况.,矩阵的定义,例3 （关联矩阵）,考虑图G其顶 点为(1,2,3,4,5), 边为a,b,c,d,e,f,g, 若第j条边与第i个 顶点关联,令 否则,矩阵的定义,、矩阵加法,二、矩阵的线性运算,设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为,矩阵的运算,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才 能进行加法运算。,定义：,例如,矩阵的运算,设： ，则,31 矩阵的运算,2、 矩阵加法的运算规律,(3) A+0=A,31 矩阵的运算,3、定义,数与矩阵相乘,矩阵的这种运算称为数乘运算,31 矩阵的运算,、数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法运算与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.,（设

3、为 矩阵， 为数）,31 矩阵的运算,例1：设,解:,31 矩阵的运算,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵的乘法,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,矩阵的运算,注: (1)只要当左矩阵A的列数等于右矩阵B 的行数时，AB才有意义；,(2)若AB=C，矩阵C的行数等于左矩阵A的 行数，矩阵C的列数等于右矩阵B的列数；,(3) 若AB=C，位于C的第 行第 列交叉处的 元素 恰好等于左矩阵A的第 行的元素 与右矩阵B的第 列对应元素的乘积之和；,即：,例2,设,例3,矩阵的运算,故,解,矩阵的运算,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时

4、，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,矩阵的运算,注意1：矩阵乘法不满足交换律，即：,例 设,则,矩阵乘法的运算规律,注意2：两个非零矩阵的积可能是零矩阵，即：,例:,则,矩阵乘法的运算规律,例如,注意3：矩阵不满足消去律，即：,矩阵乘法的运算规律,但是,（其中 为数）;,矩阵乘法的运算规律,矩阵乘法的运算规律,例2 计算下列乘积：,解,矩阵乘法,解,=(,）,矩阵乘法,则，线性方程组可以表示成：AX=b,同样，齐次线性方程组的矩阵表示形式为：AX=O,例 考察含有m个方程，n个变量x1, x2, , xn的线性方程组,矩阵的运算,但也有例外，比如设,则有,矩阵乘积不满足交换律,当 时，称矩阵

5、A和B为可交换矩阵,矩阵乘法,例3:设,求所以与A可交换的矩阵,解：设X与A可交换,矩阵乘法,可交换矩阵,矩阵乘法,可以与自己相乘的矩阵一定是方阵,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即,并且,矩阵乘法,方阵的幂,但是一般,只有A与B可交换时成立,解,例4,矩阵乘法,用数学归纳法，设,则,为m 次多项式，A为n 阶方阵，则,仍为一个n 阶方阵，称 为方阵A的多项式.,设,其中E 为n 阶单位矩阵。,例5,设,矩阵乘法,例6 设,计算,（n为正整数）,解,其中,矩阵乘法,显然,因数量矩阵 与 B 可交换，所以利用二项式,定理得到,矩阵乘法,矩阵乘法,32 特殊矩阵 方阵乘积的行列式,一、特殊矩阵及

6、性质,1、单位矩阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,数量矩阵,如果n 阶对角矩阵所有主对角线上的元素都相等，则称此矩阵为n 阶数量矩阵。,几种特殊的矩阵,数量矩阵的性质:,同理有,结论：数量矩阵左（右）乘任何矩阵就等 于常数a乘该矩阵。,？,数量矩阵与任一同阶方阵均为可交换的,称为对角矩阵(或对角阵）.,2、对角矩阵,记作,几种特殊的矩阵,对角形矩阵的性质:,设A,B 均为同阶的对角形矩阵,(1)A+B也是同阶的对角形矩阵,(2) kA也是同阶的对角形矩阵,(3) AB 也是同阶的对角形矩阵,(4),也是同阶的对角形矩阵,几种特殊的矩阵,若,，,则,，,几种特殊的矩阵,3、三角形矩阵,1.概念,形

7、如,的矩阵称为上三 角形矩阵；,称,为下三角形矩阵。,三角形矩阵的性质:,设A,B均为同阶的上三角(或均为同阶的下三角),(1)A+B也是同阶的上三角(下三角),(2) kA也是同阶的上三角(下三角),(3) AB 也是同阶的上三角(下三角),转置矩阵的运算性质,转置矩阵,4.转置矩阵,推广：,例1 已知,解法1,转置矩阵,解法2,转置矩阵,5、对称阵与反对称阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,对角矩阵是对称阵？,几种特殊的矩阵,对称矩阵的性质:,设A,B 均为同阶的对称矩阵,(1)A+B 也是同阶对称矩阵,(2) k

8、A 也是同阶的对称矩阵,几种特殊的矩阵,例2：设A,B均为n阶的对称矩阵,证明：AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA,证明：,定义,反对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相反,主对角线上的元素全为 零,几种特殊的矩阵,反对称矩阵的性质:,设A,B 均为同阶的反对称矩阵,(1)A+B 也是同阶反对称矩阵,(2) kA 也是同阶的反对称矩阵,例3 设列矩阵 满足,证明,几种特殊的矩阵,例4 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,几种特殊的矩阵,二、方阵乘积的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行

9、列式，记作 或,1、方阵的行列式,2、运算性质,推广：设A1 ,A2 , ,An均为n 阶方阵，则,(3)设A、B均为n 阶方阵，则,例5:设,计算:,解:,方阵的行列式,称为矩阵 的伴随矩阵。 试证,例6 阶行列式 的各个元素的代数 余子式 所构成的如下的矩阵,(2) 当 时，,0,.,0,0,.,0,0,.,0,所以,同理,（2）由（1）且根据本节定理1可知,由于 ，故,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的1，,那么，对于矩阵 ，,是否存在一个矩阵 ,使得,

10、33 逆矩阵,二、逆矩阵的概念和性质,例 设,矩阵的逆,(2) 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,矩阵的逆,说明 (1) 可逆矩阵一定是方阵；,例 设,解：,设 是 的逆矩阵,则,利用待定系数法,矩阵的逆,（分析：对角阵与对角阵相乘还是对角阵）,定理 矩阵 可逆的充要条件是 ,且,矩阵的逆,利用待定系数法求一个矩阵是否可逆很不方便。什么样的矩阵存在逆矩阵？怎样求逆矩阵？,可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵法,定理 矩阵 可逆的充要条件是 ,且,证明,若 可逆，,矩阵的逆,必要性,充分性.,

11、按逆矩阵的定义得,条件时，方阵 A 可逆？,例2 设 ，试问：a, b, c, d 满足什么,这时,解 当 时， A 可逆.,当 A 可逆时，求,矩阵的逆,矩阵的逆,推论,证明,证毕,同理有：,矩阵的逆,逆矩阵的运算性质,矩阵的逆,证明,矩阵的逆,推广：,证明,矩阵的逆,矩阵的逆,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,矩阵的逆,同理可得,故,矩阵的逆,例2 设 为3阶方阵，,求 的值.,解 因为 ，所以 A 可逆，且,矩阵的逆,所以,矩阵的逆,例3 设,解,矩阵的逆,于是,矩阵的逆,矩阵的逆,例4,矩阵的逆,解,给方程两端左乘矩阵,矩阵的逆,给方程两端右乘矩阵,得,矩阵的逆,给方程两

12、端左乘矩阵,矩阵的逆,得,给方程两端右乘矩阵,矩阵的逆,例5,矩阵的逆,矩阵的逆,解,例6,矩阵的逆,矩阵的逆,例7,解,矩阵的逆,矩阵的逆,同理可得：,矩阵的逆,推广,矩阵的逆,例8 设 均为 阶可逆矩阵，证明,证 （1）由 可知，,（1）,（2）,为可逆矩阵.,又,所以,矩阵的逆,（2） 由,从而,可得,矩阵的逆,小结,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,矩阵的逆,34 分块矩阵,一、矩阵的分块,定义：将一个矩阵用一些横线或纵线分成若干个小块，每块都是一个小矩阵（称为子块），这种以子块为元素的形式的矩阵称为分块矩阵。,例,矩阵的分块就是将矩阵用若干条纵线和横线分成许多

13、个小矩阵，每一个小矩阵称为子矩阵.,矩阵的分块应大致体现如下基本要求： 分块应便于理论研究； 分块应能反映矩阵的某些特点或特殊分块矩阵； 分块应使得矩阵间的运算有意义。 这三点要求往往是相辅相成的。,二、分块矩阵的运算规则,分块矩阵,与 也是 同型阵,1.加法,利用分块相加时，A、B的分法必须完全相同,例,作A+B运算,要求对A和B的行、列的分法相同.,2 3,4 5,作kA运算，对A的分法无要求.,2.数乘,设矩阵A有分块,则数k与分块矩阵的乘积,利用分块作AB运算，A的列的分法与B的行的分法必须相同.,3.分块乘法： 设A是ms矩阵，B是sn矩阵，若A的列的分块方法与B的行的分块方法相同，

14、即,则,例 已知,例 已知,对AB做适当的分块，计算AB.,A的列的分法与B的行的分法必须相同！,解,把A的列分成n列一块，且总的只有一个分块,B的行分法与A的列分法相同，即必须是n行为一块，而对B的列分法没有要求，可以分成t 块,分块矩阵的运算中，把子矩阵当作一个“数”来运算,例,B的每一列 都是齐次方程组AX=O的解.,(2) 设 ，若存在非零矩阵B3t，使得AB=O，,则 a=_.,解 因为B为非零矩阵，所以B的t列中至少有一列不全为零.,即 AX=O有非零解. 必有|A|=0.,所以应填-2.,而|A|=2(a+2)2，,4.分块矩阵的转置,设,则,T,T,T,T,则,公转加自转,运算

15、中，把子矩阵当作一个“数”,列的分法，与行的分法相同,运算中，把子矩阵当作一个“数”,列的分法，与行的分法相同,什么样矩阵呀,例,5.特殊分块矩阵-分块三角形矩阵,称A为分块上三角形矩阵， 根据laplace定理，,称B为分块下三角形矩阵， 根据laplace定理，,第一章行列式的基本型,因为A、B可逆,例,A可逆,A可逆,例 设,解,解,6.分块对角矩阵,例如,分块矩阵,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,（1）,（2）,（3）,分块矩阵,(4),(5),与 也是 同型阵,与对角矩阵的性质雷同哦,例 设,解:,解:,例2 设矩阵,求 及,解 令,则,所以,其中,设,并且A、B可逆，则P、Q都

16、可逆吗，若可逆，那它们的逆矩阵是什么？,例：,推广：,例 设,解,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,小结,(4) 转置,行变成列，同时每个子矩阵也得转置.,(5) 求逆,一些特殊矩阵可以利用分块来求逆矩阵.,三、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本、最重要的计算技巧与方法.,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,分块矩阵,若A与B相乘，需A的列的划分与 B的行的划分相一致.,同型矩阵，采用相同的分块法.,数k乘矩阵A，需k乘A的每个子块.,(4) 转置,(5) 分块对

17、角阵,分块矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,一、初等矩阵,35 初等矩阵,定义,1、初等矩阵的概念,初等矩阵,第i列,第j列,初等矩阵,第i列,初等矩阵,第i列,第j列,因为,初等矩阵,所以初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等矩阵。,若干个初等矩阵的乘积不一定是初等矩阵，但一定是可逆矩阵。,因为,初等矩阵,定理 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,2、初等矩阵的应用,初等矩阵

18、,第i行,第j行,第i列,第j列,初等矩阵,第i行,第j行,相对于对矩阵A施行第一种初等行变换：互换A的第 i 行与第 j 行.,初等矩阵,第i列,第j列,相对于对矩阵A施行第一种初等列变换：互换A的第 i 列与第 j 列.,初等矩阵,第i行,相对于对矩阵A施行第二种初等行变换：以数k乘A的第 i 行.,初等矩阵,第i列,相对于对矩阵A施行第二种初等列变换：以数k乘A的第 i 列.,初等矩阵,第i行,第j行,相对于对矩阵A施行第三种初等行变换：把以A的第j 行乘数k 加到第i 行上.,初等矩阵,第i列,第j列,相对于对矩阵A施行第三种初等列变换：把以A的第i 列乘数k 加到第j 列上.,初等矩

19、阵,例如,相当于,对应,左乘,149,初等矩阵,例如,相当于,对应,右乘,150,初等矩阵,例,解,不必直接作矩阵乘法，由于P1,P2都是初等矩阵,P1A相当于进行一次行变换.,所以左乘P1,就相当于把A 的第 2 行加到第 3 行，,即有,因为P1是由单位矩阵的第2行加到第3行得到的,初等矩阵,是由单位矩阵第 1 列与第 3列进行互换得到，,所以右乘P2，相当于进行一次第1列与第3列互换得到， 从而得,而P1AP2=(P1A)P2 ，相当于对P1A进行一次列变换，,152,初等矩阵,定理2：对任一矩阵A，一定存在若干个初等矩阵，使 得：,初等矩阵,标准形,对应的初等矩阵,154,对应的初等矩阵,对应的初等矩阵,所以,155,定理3 n 阶矩阵A可逆的充要条件是,存在有限个 n 阶初等矩阵,即,使得,可逆矩阵A 一定与单位矩阵等价,可逆矩阵的标准型为单位阵E.,证,即,初等矩阵,定理4 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方 阵 使,即存在有限个初等矩阵P1,P2, , Pk，使,二、利用初等变换求逆阵：,初等变换求逆矩阵,解,例,初等变换法求逆阵,初等变换求逆矩阵,初等变换求逆矩阵,即,初等行变换,初等变换求逆矩阵,例,解,初等变换求逆矩阵,初等变换求逆矩阵,初等变换求逆矩阵,三、小结,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,一、矩阵的秩,36 矩阵的秩,定义1