南京师范大学QM-C2-波函数与薛定谔方程.ppt

1、2.1波函数的统计解释2.2态叠加原理2.3薛定谔方程2.4粒子电流密度和粒子数守恒定律2.5稳态薛定谔方程2.6一维无限势阱2.7线性谐振子2.8势垒穿透，第2章：波函数和薛定谔方程，2.1波函数的统计解释，(1)波函数的波恩统计解释，(3)波函数的性质描述自由粒子的平面波。如果粒子在随时间和位置变化的力场中运动，其动量和能量不再是常数，粒子的状态不能用平面波来描述，而必须用更复杂的波来描述，通常记录为：描述粒子状态的波函数，通常是一个复杂的函数。叫做德布罗意波。这个公式叫做自由粒子的波函数。(1)你如何描述粒子的状态？(2)如何体现波粒二象性？(3)描述了哪种波？(1)波函数，返回1。(1

2、)两种错误观点，1 .波由粒子组成，例如水波和声波，它们是由分子密度变化形成的分布。这一观点与实验相矛盾，长期以来无法解释单电子衍射实验。电子一个接一个地穿过孔，但是只要时间足够长，衍射条纹就会逐渐出现在底片上。这表明电子的易变性不是许多电子在空间聚集在一起的现象，而是一个电子具有易变性。认为波是由粒子组成的观点夸大了粒子的一面，抹杀了粒子的波动一面，这是片面的。事实上，正是因为单个电子的易变性，我们才能理解氢原子(只包含一个电子！)电子运动的稳定性和一些量子现象，如能量量子化。粒子由波组成，电子是波包。电子被认为是在三维空间中连续分布的某种物质波包。因此，它呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的

3、大小是电子的大小，波包的群速度是电子的运动速度。什么是波浪包？波包是各种波长的平面波的叠加。平面波描述自由粒子，其特征是充满整个空间，因为平面波的振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，并且与实验事实相矛盾。实验中观察到的电子总是在一个小区域内。例如，在一个原子中，它的扩展不会超过原子大小1。电子到底是什么？是粒子吗？还是挥手？电子既不是经典粒子，也不是经典波！1.入射电子流的强度很小，它开始表现出电子的粒子特性，并且它还表现出长时间的衍射图样；让我们再看一遍电子衍射实验。2.入射电子流强度大，衍射图形显示快。结论：衍射实验揭示的电子涨落是同一实验中多个电

4、子的统计结果或同一实验中一个电子多次的统计结果。波函数被用来描述粒子的这种行为。在此基础上，玻恩提出了波函数意义的统计解释。R点附近衍射图样的强度与感光点的数量、电子的数量以及电子出现在R点附近的概率成正比。在电子衍射实验中，在摄影胶片上，据此，描述粒子的波可以看作概率波，反映微观物体运动的统计规律，波函数(r)有时被称为概率振幅。天生的统计解释是量子力学的基本原理。| (r，t)|2的物理意义是表示电子在时间t出现在R点附近的概率。确切地说，| (r，t)|2 d表示在时间t的R点附近的体积元素d中发现粒子的概率。波函数的玻恩统计解释：在空间中某一点上波函数的强度(| (r)|2)与在该点上

5、发现粒子的概率成正比。(3)波函数的性质，在d=dx dy dz的体积中，在时间t，r，找到波函数所描述的粒子的概率是：d W(r，t)=C| (r，根据波函数的概率解释，波函数具有以下重要性质：(1)概率和概率密度。在时间t和r点每单位体积找到粒子的概率是：w(r，t)=C | (r，t)|2称为概率密度。在体积v中，在时间t找到粒子的概率是：w (t)=v dw=VW (r，t) d=cv | (r，t) | 2 d，(2)平方可积，因为粒子总是出现在空间中(不讨论粒子的出现和湮灭)，在整个空间中找到粒子的概率应该是1，即C。如果，| (r，t)|2 d，那么C 0，这是没有意义的。* *

6、 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *(3)归一化波函数，如果经典波的振幅加倍，相应的波能将是原始波能的四倍，从而代表一种完全不同的波态。经典波的非归一化问题。(r，t)和C (r，t)描述的状态的相对概率是相同的，其中C是常数。在时间t，在空间中的任意两点r1和r2上发现粒子的相对概率之比是：因为粒子出现在整个空间中的概率等于1，所以粒子出现在空间中每个点上的概率只取决于空间中每个点上波函数强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小。因此，在波函数乘以非零常

7、数后，所描述的粒子状态保持不变，即(r，T)和C (r，T)描述相同的状态，这表明(r，T)和C (r，T)描述相同的概率波，所以波函数具有常数因子不确定性。如果(r，t)未归一化，| (r，t )|2 d=A (A是大于零的常数)，那么|(A)-1/2 (r，t )|2 d=1，即(A)-1/2 (r，t)注：归一化波函数仍存在模1的相位因子不确定性。如果(r，t)是一个归一化的波函数，那么expi (r，t)也是一个归一化的波函数(其中它是一个实数)，描述与前者相同的概率波。这本质上是一个完整的U(1)规范转换！(4)平面波归一化，I Dirac函数，定义为：或等价表达式：对于在x=x0附

8、近连续的任何函数f(x)，该函数也可以写成傅里叶积分形式：让k=px/，dk=dpx/，然后，性质：II平面波归一化，写成分量形式，当t=0，如果A12=1，那么A1=2-1/2，所以，三维情况：其中，注意：归一化平面波模式的平方仍然不表示概率密度， 但仅表明平面波所描述的状态在空间的每个点都有相同的概率找到粒子。 2.2态叠加原理，(1)态叠加原理，(2)动量空间的波函数(表象)，(1)态叠加原理，微观粒子有涨落并会产生衍射图样。干涉和衍射的本质在于波的叠加，即叠加性。两个附加波的干涉导致衍射。因此，就像光波的叠加原理一样，量子力学中也有波的叠加原理。因为量子力学中的波，即决定系统状态的波函

9、数，被称为状态波函数，量子力学中的波叠加原理被称为状态叠加原理。如果1和2是系统的可能状态，那么它们的线性叠加=C11 C22 (C1，C2是复数)也是系统的可能状态。考虑到电子双缝衍射，C11 C22也是电子的一种可能状态。在空间中发现电子的概率是：| | 2=| c11c 22 | 2=(C1 * 1 * C2 * 2 *)(c11c 22)=| c11 | 2 | c22 | 2c 1 * c21 * 2c 1c 2 * 12 *，电子出现在穿过狭缝的点上的概率密度，电子出现在穿过狭缝的点上的概率密度。一个电子有两种可能的状态，1和2，它们是这两种状态的叠加。其中C1和C2是复常数，这是

10、量子力学中的态叠加原理。状态叠加原理的一般表达式：如果1，2，n，是系统的一系列可能状态，那么这些状态的线性叠加=C11 C22.Cnn.(C1，C2，Cn，是复数常数)。这也是系统的一种可能状态。在状态为的系统中，一些处于状态1，一些处于状态2，一些处于状态n，并且处于状态I的概率是|Ci|2。通常，如果1和2是系统的可能状态，那么它们的线性叠加=C11和C22也是系统的可能状态。例如，电子在晶体表面反射后，它们可能以不同的动量p运动。具有确定动量的运动状态用德布罗意平面波表示。根据叠加原理，电子在晶体表面反射后，其状态可以表示为各种可能值的平面波的线性叠加，即衍射图样是这些平面波叠加干涉的

11、结果。(2)动量空间(表象)中的波函数，(R，t)是坐标空间(表象)中以坐标R为自变量的波函数；C(p，t)是一个以动量p为自变量的波函数，一个动量空间(表象)波函数；两者都描述了同一个量子态。波函数(r，t)可以用不同动量的平面波来表示。这里我们给出一个简单的证明。膨胀系数，let，可以根据p来展开，如果(r，t)是归一化的，那么C(p，t)也是归一化的，2.3薛定谔方程，(1)引论，(2)引论方程的基本考虑，(3)自由粒子所满足的方程，(4)势场中运动粒子的V (r)，这些问题，微观粒子的量子态完全用波函数来描述。波函数确定后，粒子的任何力学量的平均值及其测得的可能值和相应的概率分布也就完

12、全确定了，波函数完全描述了微观粒子的状态。因此，量子力学的核心问题是解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统状态的波函数；(2)波函数如何随时间演化。(1)引言；(2)介绍方程的基本考虑。根据牛顿方程，人们可以确定未来任何时间T粒子的状态R和P。因为初始条件知道坐标及其对时间的一阶导数，所以该方程是一个二阶时间常微分方程。让我们回顾一下经典的粒子运动方程，看看它是否能启发我们。(1)经典情况，(2)量子情况，(3)第三，方程不能包含状态参数，如p，E等。否则，方程只能由粒子的特定状态来满足，而不能由各种可能的状态来满足。1，因为在t=t0时，已知的初始状态是(r，t0 ),并且只有这

13、样的初始条件是已知的，所以描述粒子状态的波函数所满足的方程只能包含时间的一阶导数。另一方面，我们应该满足状态叠加原理，也就是说，如果1(r，t)和2(r，t)是方程的解，那么。(r，t)=C11(r，t) C22(r，t)也应该是方程的解。这就要求方程应该是线性的，也就是说，方程只能包含时间的一阶导数和坐标的一阶导数，而不能包含它们的平方或平方项。(3)自由粒子所满足的方程，它不是要找到的方程，因为它包含状态参数e。自由粒子所满足的方程(3)可以通过导出坐标的二阶导数和上述方程对t的导数而得到，它满足上述方程的三个条件。从推导自由粒子波动方程的过程中可以看出，如果能量关系E=p2/2写成下面的

14、方程形式：替换算符(4)。(1)(2)，返回-。如果粒子在势场V(r)中运动，能量和动量的关系变为：这是通过应用阿波罗函数得到的，并由多粒子系统的薛定谔方程代替。让系统由质量为i (i=1，2，系统的波函数表示为(r1，r2，粒子间相互作用(r1，r2，rN)，那么多粒子系统的薛定谔方程可以表示为：多粒子系统的哈密顿量，对于一个有z个电子的原子，电子之间的相互作用是库仑排斥：而原子核对第I个电子的库仑吸引能是：假设原子核位于坐标原点，无穷大。例如，2.4粒子流密度和粒子数守恒定律，(1)局域化概率守恒，(2)波函数性质的再讨论，(1)局域化概率守恒，考虑到低能非相对论真实粒子的情况，粒子数保持

15、不变，因为不存在粒子产生和湮灭的问题。对于一个粒子，在整个空间中发现它的概率之和不应该随时间而变化，也就是说，在讨论了状态或波函数随时间变化的规律之后，我们进一步讨论了粒子出现在某一空间区域的概率将如何随时间而变化。粒子在时间点T出现在单位体积内的概率，即概率密度为：证明：考虑薛定谔方程及其共轭公式：取共轭，将上述公式与空间中的任意体积积分，则有：左端表示在单位时间内封闭区域内发现粒子的总概率的增量，所以(7)是概率(粒子数)守恒的积分表达式。连续性方程的微分形式，利用高斯定理，j是概率流密度向量。右端表示单位时间内通过的闭合曲面流入(面积点前的负号)的概率，使体积在等式中。(7)趋向于，即对整个空间进行积分。考虑到任何实波函数都应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，公式右边的积分趋于零，所以方程。(7)变成：这表明波函数的归一化并不随时间而改变，它的物理意义。讨论：(1)这里的概率守恒具有局部性。当概率在空间的某个地方降低时，在其他地方必然增加，这样总的