初三数学：圆例题(打印版)

1、一、有关圆的经典例题一、有关圆的经典例题 1.在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为3和 2，求BAC的度数。 分析：分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意 ABAB 与与 ACAC 有不同的位置关系。有不同的位置关系。 解：解：由题意画图，分AB、AC 在圆心 O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当 AB、AC 在圆心 O 的异侧时，如下图所示， 过 O 作 ODAB 于 D，过 O 作 OEAC 于 E， AB 3，AC 2，AD 32 ，AE 22 OA 1， cosOAD AD3 ， OA2 c o s O A E AE

2、2 OA2 OAD=30，OAE=45，故BAC=75， 当 AB、AC 在圆心 O 同侧时，如下图所示， 同理可知OAD=30，OAE=45， BAC=15 点拨：点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例 2. 如图：ABC 的顶点 A、B 在O 上，O 的半径为 R，O 与 AC 交于 D， 如果点D既是 AB的中点，又是AC边的中点， （1）求证：ABC 是直角三角形； AD2 (2)求的值 BC 分析：分析：(1)由D为 AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F， 则则 AF=FBAF=FB，ODODABAB，可证，

3、可证 DFDF 是是ABCABC 的中位线；的中位线； （2 2）延长）延长 DODO 交交O O 于于 E E，连接，连接 AEAE，由于，由于DAE=90DAE=90，DEDEABAB，ADFADF 1AD2 DAE，可得AD DFDE，而DF BC，DE 2R，故可求 2BC 2 解：解：（1）证明，作直径 DE 交 AB 于 F，交圆于 E D为 AB的中点，ABDE，AF FB 又AD=DC 10 DFBC，DF 1 BC 2 ABBC，ABC 是直角三角形。 （2）解：解：连结 AE DE 是O 的直径 DAE=90 而 ABDE，ADFEDA ADDF ，即AD2 DEDF DE

4、AD 1 DE 2R，DF BC 2 AD2 AD BCR，故 R BC 2 例 3. 如图，在O 中，AB=2CD，那么（） A. AB 2CD B. AB 2CD C. AB 2CD D. AB与2CD的大小关系不确定 分析：分析：要比较 AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行： (1)把 AB的一半作出来，然后比较 1 AB与CD的大小。 2 (2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与 AB的大小。 解：解：解法（一），如图，过圆心O 作半径 OFAB，垂足为 E， 1 则 AF FB AB 2 1 AE EB AB 2 AB 2CD，AE CD AF FB，AF FB 1

5、AB 2 11 在AFB 中，有 AF+FBAB 2AF AB，AF AB 2CD AB ，AF CD，2 AF 2CD 2 选 A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结 CE 则 DE CD 1 CE 2 在CDE 中，有 CD+DECE 2CDCE AB=2CD，ABCE AB CE ， AB 2CD 选 A。 4. 4.如图，四边形ABCD内接于半径为2的O，已知AB BC 求求 CDCD 的长的长。 分析：分析：连结 BD，由 AB=BC，可得 DB 平分ADC，延长 AB、DC 交于 E，易 得EBCEDA，又可判定 AD 是O 的直径，得ABD=90，可证得ABD EBD，得

6、DE=AD，利用EBCEDA，可先求出 CE 的长。 解：解：延长 AB、DC 交于 E 点，连结 BD AB BC 1 AD 1， 4 1 AD 1 4 AB BC，AD 4，ADB EDB O 的半径为 2，AD 是O 的直径 ABD=EBD=90，又BD=BD ABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四边形 ABCD 内接于O， EBC=EDA，ECB=EAD EBCEDA， BCCE ADAE CE BCAEBC(AB BE)111 ADAD42 17 22 CD DE CE 4 12 例例 5. 5.如图，AB、AC分别是O的直径和弦，D为劣弧 AC上一点，DEAB 于 H，交

7、O 于点 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 的延长线上一点。 （1）当PCF 满足什么条件时，PC 与O 相切，为什么？ (2)当点D在劣弧 AC的什么位置时，才能使AD2 DEDF，为什么？ 分析：分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使 PC 与O 相切，只要使PCO=90，问题转化为使OCA+PCF=FAH+AFH 就可以 了。 (2)要使AD2 DEDF，即使 ADDF ，也就是使DAFDEA DEAD 解：解：（1）当 PC=PF，（或PCF=PFC）时，PC 与O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结 OC，则OCA=FAH， PC=PF，PCF=PFC=A

8、FH， DEAB 于 H，OCA+PCF=FAH+AFH=90 即 OCPC，PC 与O 相切。 (2)当点D是劣弧 AC的中点时，AD2 DEDF，理由如下： 连结AE， AD CD，DAF DEA 又ADF EDA， DAFDEA， ADDF DEAD 即 AD2=DEDF 点拨：点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求PCF 满足什么条件时，PC 与O 相切，可以反 过来，把 PC 与O 相切作为条件，探索PCF 的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将 AD2=DEDF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。 13 例例 6. 6.如图，四边形ABCD是矩形(AB

9、1 BC)，以BC为直径作半圆O，过点 2 D 作半圆的切线交 AB 于 E，切点为 F，若 AE：BE=2：1，求 tanADE 的值。 分析：分析：要求 tanADE，在RtAED 中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD， 而 EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系，进一步可求出 AE：AD。 解：解：四边形 ABCD 为矩形，BCAB，BCDC AB、DC 切O 于点 B 和点 C， DE 切O 于 F，DF=DC，EF=EB，即 DE=DC+EB， 又AE：EB=2：1，设 BE=x，则 AE=2x，DC=AB=3x， DE

10、=DC+EB=4x， 在 RtAED 中，AE=2x，DE=4x， AD 2 3x 则t a n A D E AE2x3 AD2 3x3 点拨：点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例例 7. 7. 已知O1与O2相交于 A、B 两点，且点 O2在O1上， （1）如下图，AD 是O2的直径，连结 DB 并延长交O1于 C，求证 CO2AD； （2）如下图，如果 AD 是O2的一条弦，连结 DB 并延长交O1于 C，那么 CO2所在直线是否与 AD 垂直？证明你的结论。 分析：分析：（1）要证 CO2AD，只需证CO2D=90，即需证D+C=90，考虑到A

11、D 是O2的直径， 连结公共弦 AB，则A=C，DBA=90，问题就可以得证。 （2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC 等于 CD，到底AC 与 CD 是否相等呢？考虑到 O2在O1上，连结 AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故 CA=CD，可得结论 CO2AD。 14 解：解：（1）证明，连结 AB，AD 为直径，则ABD=90 D+BAD=90 又BAD=C，D+C=90 CO2D=90，CO2AD （2）CO2所在直线与 AD 垂直， 证明：连结 O2A、O2B、O2D、AC 在AO2C 与DO2C 中 O 2 A O 2 B，

12、AO 2 BO 2 ，1 2 O2BD=O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DB O2C=O2C，AO2CDO2C，CA=CD， CAD 为等腰三角形， CO2为顶角平分线，CO2AD。 例例 8. 8. 如下图，已知正三角形 ABC 的边长为 a，分别为 A、B、C 为圆心， a 以为半径的圆相切于点O 1、O2 、O 3，求O1O2 、O 2O3 、O 3O1 围成的图形面 2 积 S。（图中阴影部分） 分析：分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3 个扇形面积。 解：解：S ABC 3 2 a 2 a2 a ，3S 扇 3( ) 4628 S 阴 3 2 a22 3 2a a 4

13、88 此题可变式为如下图所示，A、B、C两两不相交，且它们的半径都 a 为，求图中三个扇形(阴影部分)的面积之和。 2 分析：分析： 因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B+C=180 ， 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为 8 a2， 原题可在上一题基础上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是 1，顺次连结 n 个圆心得到的 n 边形 A1A2A3An，求 n 个扇形的面积之和。 15 解题思路同上。 解：解： (n 2) 2 一、填空题（104=40 分） 1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_。

14、 2. 圆内接四边形 ABCD 中，如果A：B：C=2：3：4，那么D=_度。 3. 若O 的半径为 3，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 6，则点 P 到O 的切线长为_。 4. 如图所示 CD 是O 的直径，AB 是弦，CDAB 于 M，则可得出 AM=MB，AC BC等多个结论， 请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。 5. O1与O2的半径分别是 3 和 4，圆心距为4 3，那么这两圆的公切线的条数是_。 6. 圆柱的高是 13cm，底面圆的直径是 6cm，则它的侧面展开图的面积是_。 7. 已知： 如图所示， 有一圆弧形桥拱， 拱的跨度 AB=16cm， 拱高 CD=4cm， 那

15、么拱形的半径是_。 8. 若 PA 是O 的切线，A 为切点，割线PBC 交O 于 B，若BC=20，PA=10 3， 则 PC 的长为_。 9如图 5，ABC内接于O，点P是AC上任意一点（不与A、C重合）， ABC 55 ,则POC的取值范围是 10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1 的度数为 . O （第 9 题图） 11已知 O的半径是 3，圆心O到直线l的距离是 3，则直线l与O的位置关系 是 12 如图， 已知点E是圆O上的点， B、 C分别是劣弧AD的三等分点，BOC 46， 则AED的度数为 16 13如图，RtABC中ACB 90，AC 4，BC

16、 3将ABC绕AC所在的直线f旋转一周得到 一个旋转体，该旋转体的侧面积（取 3.14，结果保留两个有效数字） 14如图 8，两个同心圆的半径分别为2 和 1，AOB120o，则阴影部分的面积为 15如图，AB是 f A A B 120o M N B A O BC 第 14 题图 图 8 O O的直径，AM为弦，MAB 30，过M点的O的切线交AB延长线于点N若 ON 12cm，则O的半径为 cm 16如图，RtABC是由RtABC绕B点顺时针旋转而得，且点A，B，C在同一条直线上，在 RtABC中，若C 90，BC 2，AB 4，则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为 A C B （16 题

17、图） A A A O E P 图 9 F B B C C 图 10 17如图，从圆O 外一点P引圆 O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若PA8cm，C是AB上的 一个动点（点C与A，B两点不重合），过点C作圆 O 的切线，分别交PA，PB于点D，E，则PED的 周长是 18、 在平面内， O 的半径为 5cm， 点 P 到圆心 O 的距离为 3cm， 则点 P 与O 的位置关系是 . 19如图 9，在RtABC中，C 90 ，AC 3将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半 径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 20 如图 10， 点A，B是点P是O上的动点 （P与A，B不重合）

18、 连结AP，PB，O上两点，AB10， 过点O分别作OE AP于点E，OF PB于点F，则EF 17 三、解答题： 1. 已知：如图所示，O1和O2相交于 A、B 两点，过B 点作O1的切线交O2于 D，连结 DA 并延长 与O1相交于 C 点，连结 BC。过 A 点作 AEBC 与O2相交于 E 点，与 BD 相交于 F 点。 （1）求证：EFBC=DEAC； （2）若 AD=3，AC=1，AF3，求 EF 的长。 2. 某单位搞绿化， 要在一块图形的空地上种四种颜色的花， 为了便于管理和美观， 相同颜色的花集中种植， 且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形

19、或中心对称图形。请在如 图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。 3. 已知：ABC 是O 的内接三角形，BT 为O 的切线，B 为切点，P 为直线 AB 上一点，过点P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC 于点 F。 （1）如图所示，当点P 在线段 AB 上时，求证：PAPB=PEPF； （2）当点P 为线段 BA 延长线上一点时，第（ 1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立， 请说明理由； （3）若 AB 4 2，cosEBA 4如图，ABC是 1 ，求O 的半径。 3 O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设OAB ，

20、 C （1）当 35时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明 5、（分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相 交于点D，切线DEAC，垂足为点E 求证：（1）ABC是等边三角形；（2）AE CE B C A E D 1 3 O 18 6 6、已知：如图，在RtABC中，C 90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB 分别交于点D，E，且CBD A （1）判断直线BD与 C D B O的位置关系，并证明你的结论； A （2）若AD: AO 8:5，BC 2，求BD的长 O E 7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点， （）求AOD的度数；（）若AO 8cm，DO 6cm，求OE的长 8、已知RtABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点 C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N （）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：MN2 AM2