二项分布及其应用

1、二项分布及其应用条件概率一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 （2）如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A) 二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在

2、已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1） 第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。（2） 第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品

3、，求另一件也是次品的概率。（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A=赵家得到6张梅花，B=孙家得到3张梅花（1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格

4、产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求第二件也是合格品的概率。事件的相互独立性一、相互独立事件的定义如果事件A的发生不会影响事件B发生的概率，或事件B的发生不会影响事件A发生的概率，那么事件A与事件B相互独立。设A，B为两个事件，如果 ，则称事件A与事件B相互独立；如果事件A与B相互独立，那么A与 ，与B， 与 注意区分互斥事件与相互独立事件二、典型例题1.相互独立事件的判断例1： 判断下列各对事件是否是相互独立事件：（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1

5、名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”。例2：下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？抛掷一枚骰子，事件A=“出现1点”，事件B=“出现2点”；先后抛掷两枚均匀硬币，事件A=“第一枚出现正面”，事件B=“第二枚出现反面”；在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A=“第一次取到绿球”，B“第二次取到绿球”。2.求相互独立事件

6、的概率例1：设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与B发生的概率都是，求P（A），P（B）。例2：某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答得0分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响。（1）求这名同学得300分的概率；（2）求这名同学至少得300分的概率；例3：甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是0.5，且面

7、试是否合格互不影响，求：（1）至少有1人面试合格的概率；（2）签约人数X的分布列.例4：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率，乙当选的概率为，丙当选的概率为.（1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有两人当选的概率.3.综合题型例1：甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和，求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有一个人译出密码的概率；（4）至多有一个人译出密码的概率；（5）至少有一个人译出密码的概率.例2：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率为0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）至少有一人投中的

8、概率.4.多个事件的相互独立性例1：甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。（三）课堂练习1、 两人打靶，甲击中的概率为0.8。，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是 （ ）A. 0.56 B.0.48 C.0.75 D.0.62、 若P(AB)=0，则事件A与B的关系是（ ）A. 互斥事件 B. A、B中至少有一个为不可能事件 C. 互斥事件或至少有一个是不可能事件 D. 以上都不对

9、3、国庆节放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分别是、，假设三人的行动互不影响，那么这段时间至少有1人外出旅游的概率为（ ）A. B. C. D. 4、 将一个硬币连掷5次，5次出现正面的概率是 ;5、 已知A、B是相互独立事件，且P（A）=， P(B)= ，则P()_;P()_6、分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令A=硬币甲出现正面，B=硬币乙出现正面.验证事件A、B是相互独立的。独立重复试验与二项分布一、独立重复试验与二项分布的定义1. 独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验的结果，则P(A1A2An) 2.二项分布：一般地，在n次独

10、立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk) (k0,1,2，n)此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率二、典型例题1、独立重复试验概率的求法例1:某人连续射击5次，每次中靶的概率均是0.9，求他至少两次中靶的概率。例2：病人服用某药品被治愈的概率为0.9求服用这种药的10位患有这种病的患者中至少有7人被治愈的概率。例3：某人参加一次考试，若5道题中解对4道则为及格，已知他解对每道题的正确率为0.6，求他及格的概率2、求随机变量的二项分布列例1：一名学生骑车上学，从家到学校途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率都是，设X为该生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列。3、利用二项分布求概率例1：有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12分钟，问全部机床用电超过48千瓦的可