统计量及其分布.ppt

1、第六章 数理统计的基本概念,数理统计学的任务：,1.试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合理地获得数据；2.统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题作出尽可能精确、可靠的结论.,对随机现象进行观测或试验,收集整理统计资料,对研究对象作出推断,数理统计学概述,本章内容,6.1 总体与样本,6.2 统计量,6.3 抽样分布,6.4 经验分布函数,6.1 总体与样本,总体：所研究对象的全体构成的集合.,个体：总体中的每一个元素.,例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.,例：考察某大学学生的身高与体重.,总体=？个体=？,总体=？个体=？,1.定义,一、总体和个体,(1)总体和个体具有两重性：一

2、方面指所研究的实体；另一方面又指实体的特征指标.,注：,(2) 有限总体与无限总体.,总体包含有限个个体,2.总体的随机变量表示及总体的分布,总体就是随机变量.可以是一维的，可以是二维的.,考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命. 记作X； X的每一个取值就是一个灯泡的寿命.,考察某大学学生的身高与体重.总体(X,Y), X“身高”，Y“体重”.,总体的分布就是随机变量的分布.,以后所研究的总体多是正态总体.,简单随机样本：设取自总体X的样本(X1, X2, , Xn)满足: (1) 每个Xi 与总体X同分布（代表性）; (2) X1, X2, , Xn相互独立（独立性）. 则称 样本(X1, X2,

3、, Xn) 为简单随机样本，简称为样本.,样本二重性：,注,在有限总体中要得到简单样本, 必须进行重复抽样.但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本.,随机抽样：从总体X中抽取部分个体的过程.简称抽样.,样本与样本容量：抽取的部分个体(抽样的结果）叫样本；所含 个体的个数叫样本容量.记为(X1, X2 , ,Xn),二、样本,容量为n 的样本 (X1, X2, , Xn),由于试验的随机性，样本是n维随机变量,试验后,( x1, x2, xn ),数据=样本观测值n维常数向量,统计推断:分析样本数据 对总体的分布作出结论,样本从总体带出的信息 是分散的、

4、零乱的,统计量,设总体X的分布函数为F(x)，(X1, X2, , Xn)是来自总体的样本， 则(X1, X2, , Xn)的分布函数为,连续型: X f(x)，则样本 (X1, X2, , Xn) 的密度函数为：,三、样本的分布,离散型：XP(X=xi)=pi i=1,2,则样本(X1 ,X2 ,Xn)的分布为：,F( x1, x2, , xn ) = F(x1) F(x2) F( xn),P(X1=x1,X2=x2,Xn=xn)=P(X=x1)P(X=x2)P(X=xn),f (x1,x2, , xn) = f(x1) f(x2) f( xn),设(X1, X2, , Xn)为来自总体 X

5、 的容量为n 的样本,h(x1, x2, , xn) 为不含未知参数的n 元实值函数，则 T = h(X1, X2, , Xn) 是一个随机变量，称为统计量.,6.2 统计量,注 ：（1）统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数. （2）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值.故统计量 也具有二重性.,一、统计量的定义,例2 当总体 XN( , 2) ，其中参数 , 2 未知时,不是统计量,例1,当参数 已知, 2 未知时，结论如何？,都是统计量,二、常用统计量,定义 设样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体 X，常用统计量：,样本均值:,样本方差：,样本k阶原点矩：,样本k阶中心矩

6、：,样本标准差 :,样本均值和样本方差的性质,证：由于(X1, X2, , Xn) 是简单随机样本，所以EXi=EX= ， DXi=DX= 2 (i=1, 2, , n)，而且有,自由度表示独立随机变量的个数,6.3 抽样分布,（1）定义：若X的密度函数为：,1.2 分布,一、 数理统计学的三个重要分布,则称X服从 自由度为 n 的2分布. 记为 X 2(n).,（2）有关2分布的结论,20 若 X2(n),Y2(m),且X与Y相互独立, 则 X+Y 2 (n+m).,10 若随机变量XN( 0, 1 )，则X2 2( 1 ) .,40 若 X1, X2, , Xn相互独立，同服从于正态分布N

7、( i , i2)，则,30 设随机变量X1,X2,Xn相互独立,且同服从N( 0, 1 )， 则2 = X12+X22+ +Xn2 2(n).,构造性定义,（3）2分布的临界值（上 分位点）,例：,3.94,2. t 分布,（1）定义：若随机变量的密度函数为,则称X服从,可以证明，当自由度n无限增大时，t分布将趋于标准正态分布.,判定：,构造性定义,(2) t 分布的临界值（上 分位点）,例：,1. 397,例 若 XN ( , 2)，Y/ 2 2(n)，且X与Y相互独立，证明：,证明：,且X与Y相互独立,所以,3. F 分布,则称X服从第一自由度为n1 ，第二自由度为n2 的F分布.,定义

8、,则,构造性定义,例 设(X1,X2,X6)来自XN(0,2)，则( ) F(2,4).,解：,二、正态总体下的抽样分布两个定理五个结论.,1.样本线性函数的分布,定理1 设Y = a1X1+ a2X2+ a n X n ，则,以下假设样本（X1 , X2 ， ，X n ）来自正态总体 XN(, 2),其中 a1, a2, , an 为不全为零常数.,重要结论1,设(X1 , X2 ， ，X n )取自 XN( , 2)，,则,2.样本均值和样本方差的分布,定理2 设X N( , 2)，样本(X1, X2, , Xn)取自总体X ， 则,重要结论2,且相互独立,设样本(X1, X2, , Xn)取自总体X N( , 2)，,则,证：,3.两正态总体的抽样分布,设样本(X1,X2, ,X n)来自正态总体XN(1 ,12), (Y1, Y2, , Y n2) 来自正态总体YN(2 ,